פורסם איך אנחנו כותבים ובודקים מדריכים
נוסחאות הכפל המקוצר הן שלוש: ריבוע סכום שווה a בריבוע ועוד 2ab ועוד b בריבוע, ריבוע הפרש שווה a בריבוע פחות 2ab ועוד b בריבוע, והפרש ריבועים שווה למכפלת הסכום בהפרש. הן חוסכות פתיחת סוגריים, ובכיוון ההפוך הן הכלי המרכזי לפירוק לגורמים.
למה בכלל צריך אותן
אפשר לפתוח כל מכפלה של סוגריים בשיטת כל אחד עם כל אחד, וזה תמיד יעבוד. אבל שלושת המקרים האלה חוזרים כל כך הרבה פעמים שכדאי לזהות אותם מיד ולכתוב את התוצאה בשורה אחת. במבחן זה חוסך דקות, ובעיקר מונע טעויות סימן.
החשוב יותר הוא הכיוון ההפוך. כשרואים ביטוי שנראה כמו אגף ימין של אחת הנוסחאות, אפשר לכווץ אותו לסוגריים — וזה בדיוק מה שנקרא פירוק לגורמים. בלי הנוסחאות האלה חצי מתרגילי הפירוק בבגרות פשוט לא ניתנים לפתרון בזמן סביר.
ריבוע סכום
(a + b) בריבוע פירושו (a + b)(a + b). פותחים כל אחד עם כל אחד ומקבלים a בריבוע, ועוד ab, ועוד ba, ועוד b בריבוע. שני האמצעיים זהים, ולכן מתאחדים ל־2ab.
- דוגמה מספרית
(x + 5)² = x² + 2·x·5 + 25 = x² + 10x + 25
- דוגמה עם מקדם
(3x + 2)² = 9x² + 2·3x·2 + 4 = 9x² + 12x + 4
ריבוע הפרש
אותו דבר בדיוק, רק שהאיבר האמצעי מקבל מינוס. שימו לב שהאיבר האחרון נשאר חיובי תמיד — b בריבוע חיובי גם כש־b שלילי.
- דוגמה
(x − 7)² = x² − 14x + 49
- דוגמה עם מקדם
(2x − 5)² = 4x² − 20x + 25
הפרש ריבועים
זו הנוסחה השימושית ביותר משלושתן. כשמכפילים סכום בהפרש של אותם שני איברים, האיברים האמצעיים מתבטלים ונשאר רק הפרש הריבועים.
- בכיוון הרגיל
(x + 4)(x − 4) = x² − 16
- בכיוון ההפוך — פירוק
x² − 49 = (x + 7)(x − 7)
- גם עם מקדמים
9x² − 25 = (3x + 5)(3x − 5)
- וגם בחשבון בראש
103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 10000 − 9 = 9991
שימוש הפוך: זיהוי במבחן
איך מזהים שביטוי מתאים לאחת הנוסחאות? בודקים שלושה דברים: האיבר הראשון ריבוע שלם, האיבר האחרון ריבוע שלם, והאיבר האמצעי שווה בדיוק לפעמיים מכפלת השורשים שלהם.
- x² + 12x + 36
שורש הראשון x, שורש האחרון 6, ופעמיים המכפלה היא 12x. מתאים: (x + 6)².
- x² + 10x + 16
שורש האחרון 4, ופעמיים המכפלה תהיה 8x ולא 10x. לא מתאים — זה טרינום רגיל: (x + 2)(x + 8).
- 4x² − 12x + 9
שורשים 2x ו־3, פעמיים המכפלה 12x, והסימן מינוס. מתאים: (2x − 3)².
טעויות נפוצות
- לכתוב (a + b)² = a² + b² ולשכוח את 2ab.
- לשכוח להעלות גם את המקדם בריבוע: (3x)² זה 9x², לא 3x².
- לתת לאיבר האחרון סימן מינוס בריבוע הפרש. הוא תמיד חיובי.
- לנסות לפרק סכום ריבועים.
- בהפרש ריבועים: לכתוב את שני הסוגריים עם אותו סימן.
תרגול עם פתרונות
- פתחו (x + 9)²
x² + 18x + 81
- פתחו (5 − 2x)²
25 − 20x + 4x²
- פרקו x² − 81
(x + 9)(x − 9)
- פרקו x² − 16x + 64
שורשים x ו־8, פעמיים המכפלה 16x, סימן מינוס: (x − 8)²
- חשבו בראש 98 × 102
(100 − 2)(100 + 2) = 10000 − 4 = 9996
שאלות נפוצות
- מה הן שלוש נוסחאות הכפל המקוצר?
- ריבוע סכום: (a+b)² = a² + 2ab + b². ריבוע הפרש: (a−b)² = a² − 2ab + b². הפרש ריבועים: (a+b)(a−b) = a² − b².
- למה (a+b) בריבוע לא שווה a בריבוע ועוד b בריבוע?
- כי פתיחת הסוגריים יוצרת ארבעה איברים, ושניים מהם זהים ומצטרפים ל־2ab. אפשר לבדוק עם מספרים: (2+3)² = 25 ואילו 4 + 9 = 13.
- האם יש נוסחה לסכום ריבועים?
- לא במספרים ממשיים. a² + b² לא ניתן לפירוק, וזה מבדיל אותו מהפרש ריבועים.
- איך יודעים מתי להשתמש בכפל מקוצר ומתי בטרינום?
- אם האיבר הראשון והאחרון הם ריבועים שלמים והאמצעי שווה לפעמיים מכפלת השורשים — זה כפל מקוצר. אחרת מפרקים כטרינום רגיל.
רוצים לראות את מורה-מורה בגוגל?
הוסיפו אותנו כמקור מועדף — והתוכן שלנו יופיע גבוה יותר בחיפושים שלכם.