נוסחת השורשים - איך פותרים משוואה ריבועית

מה זו משוואה ריבועית

משוואה שבה הנעלם מופיע בחזקה 2, ולא בחזקה גבוהה יותר. כדי להשתמש בנוסחה מעבירים הכול לאגף אחד, כך שבצד השני נשאר 0, וקוראים את המקדמים: ב-2x² - 8x + 6 = 0 a = 2, b = -8, c = 6. הסימן שייך למקדם. משוואה כמו x(x + 2) = 15 צריך קודם לפתוח ולסדר: x² + 2x - 15 = 0. לומדים את זה בדרך כלל בכיתה ט.

מתי משתמשים בנוסחת השורשים

תמיד אפשר, כי הנוסחה עובדת לכל משוואה ריבועית. היא הכרחית כש-a ≠ 1 והפירוק לא נראה מיד, כשהמקדמים גדולים או שבורים, וכשהדלתא אינה ריבוע מלא, כי אז אין פירוק במספרים שלמים בכלל. כשהמשוואה חסרה, או כש-a = 1 ומוצאים זוג מתאים תוך כמה שניות, דרכים אחרות מהירות יותר, אבל גם בהן הנוסחה תיתן את אותה תשובה.

מאיפה הנוסחה מגיעה

הנוסחה היא תוצאה של השלמה לריבוע. מחלקים את ax² + bx + c = 0 ב-a, מעבירים את c/a לאגף השני, ומוסיפים לשני האגפים (b/2a)². האגף השמאלי הופך לריבוע מלא, (x + b/2a)², והימני ל-(b² - 4ac) / 4a². מוציאים שורש עם פלוס ומינוס, מבודדים את x, ומקבלים בדיוק את הנוסחה. לכן גם ברור למה כשהדלתא שלילית אין פתרון: אין מספר ממשי שהריבוע שלו שלילי.

מה הדלתא אומרת

אם הדלתא היא ריבוע מלא (16, 25, 49), התשובות יוצאות מספרים רציונליים. אם לא, משאירים שורש מפושט לפי חוקי חזקות ושורשים: √12 = 2√3.

איזו דרך לבחור

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: שני פתרונות

פתרו: 2x² - 8x + 6 = 0

1. מקדמים

   a = 2, b = -8, c = 6

2. דלתא

   Δ = (-8)² - 4 · 2 · 6 = 64 - 48 = 16

3. מציבים

   x = (8 ± 4) / 4. שימו לב: -b = 8, והמכנה 2a = 4.

4. פתרונות

   x = 3, x = 1

דוגמה 2: פתרון שבור

פתרו: 2x² + 3x - 2 = 0

1. מקדמים

   a = 2, b = 3, c = -2

2. דלתא

   Δ = 9 + 16 = 25

3. מציבים

   x = (-3 ± 5) / 4

4. פתרונות

   x = 1/2, x = -2

דוגמה 3: דלתא 0 ודלתא שלילית

פתרו: x² - 6x + 9 = 0, ואחר כך x² + x + 1 = 0

1. ראשונה

   Δ = 36 - 36 = 0, ולכן פתרון אחד: x = 6 / 2 = 3. זה (x - 3)².

2. שנייה

   Δ = 1 - 4 = -3

3. עוצרים

   אין פתרון ממשי. כותבים את זה במפורש, ולא ממשיכים עם שורש של מספר שלילי.

דוגמה 4: משוואה חסרה

פתרו: 3x² - 12x = 0, ואחר כך 2x² - 50 = 0

1. חסרה c: גורם משותף

   3x(x - 4) = 0, ולכן x = 0 או x = 4

2. לא מחלקים ב-x

   מי שמחלק ב-x מאבד את הפתרון x = 0.

3. חסרה b: בידוד ושורש

   x² = 25, ולכן x = ±5. שני פתרונות, לא אחד.

דוגמה 5: משוואה שלא מסודרת

פתרו: x(x + 2) = 15

1. פותחים ומסדרים

   x² + 2x - 15 = 0

2. טרינום: מכפלה 15-, סכום 2

   5 ו--3: (x + 5)(x - 3) = 0

3. פתרונות

   x = -5, x = 3. בנוסחה יוצא אותו דבר: Δ = 4 + 60 = 64.

דוגמה 6: שאלה עם פרמטר

לאילו ערכים של k למשוואה x² + kx + 9 = 0 יש פתרון אחד בלבד?

1. פתרון אחד פירושו דלתא 0

   Δ = k² - 4 · 1 · 9 = 0

2. פותרים

   k² = 36, ולכן k = 6 או k = -6

3. בודקים

   עבור k = 6: x² + 6x + 9 = (x + 3)², פתרון יחיד x = -3.

איך זוכרים את הנוסחה

אומרים אותה בקול לפי הסדר: מינוס b, פלוס מינוס שורש של b בריבוע פחות ארבע a c, והכול חלקי שתיים a. המילה 'הכול' חשובה: קו השבר נמשך מתחת לכל המונה, לא רק מתחת לשורש. וכשכותבים אותה בתרגיל, מציבים בסוגריים: (-8)² ולא -8², כדי שהסימן לא ילך לאיבוד.

נוסחת השורשים במחשבון

במחשבונים מדעיים רבים יש מצב לפתרון משוואות, שמקבל את a, b ו-c ומחזיר את הפתרונות. זו דרך טובה לבדוק את עצמכם, אבל לא תחליף לדרך: בבגרות ניקוד ניתן על הצבה נכונה ועל חישוב הדלתא, ולא רק על התשובה.

בדיקה מהירה בלי להציב

סכום הפתרונות שווה -b/a ומכפלתם c/a. בדוגמה 1: 3 + 1 = 4 = 8/2, ו-3 · 1 = 3 = 6/2. אם זה לא מסתדר, יש טעות בחישוב. הפתרונות הם גם נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר x.

טעויות נפוצות

• לא מסדרים לאגף אחד לפני שקוראים את a, b, c.
• מאבדים את המינוס של b: אם b = -8, אז -b = 8, ו-b² = 64, לא -64.
• מחלקים ב-2 במקום ב-2a, או מחלקים רק את השורש ולא את כל המונה.
• מחלקים ב-x במשוואה חסרה ומאבדים את x = 0.
• שוכחים את ± כשמוציאים שורש.
• ממשיכים עם דלתא שלילית במקום לכתוב שאין פתרון.

ראו גם פירוק לגורמים ונוסחאות הכפל המקוצר, שחוסכות את הנוסחה כשהביטוי הוא ריבוע מלא. מתכוננים למבחן? מורה פרטי למתמטיקה.