הסתברות של מאורע A היא הסיכוי שהוא יקרה, מספר בין 0 ל־1. כשכל התוצאות שוות־סיכוי: P(A) = מספר תוצאות רצויות חלקי סך התוצאות האפשריות. במאורע וגם של מאורעות בלתי תלויים כופלים. במאורע או של מאורעות זרים מחברים. המשלים: P(לא A) = 1 − P(A). אם יצא יותר מ־1 או פחות מ־0, יש טעות בחישוב.
איך ניגשים לשאלת הסתברות
קודם מגדירים מה הניסוי ומה נחשב הצלחה. אחר כך סופרים את המרחב: כמה תוצאות אפשריות יש, והאם הן באמת שוות־סיכוי. בקובייה הוגנת שש פאות שוות. בחפיסת קלפים 52 קלפים שווים. בכד עם כדורים בגדלים שונים הסיפור אחר, אבל בשאלות בית ספר בדרך כלל מניחים כדורים זהים בהסתברות השליפה. אחרי שיש מרחב, סופרים כמה תוצאות מקיימות את מה שביקשו. המנה היא ההסתברות. מצמצמים שבר, ואפשר גם לכתוב אחוזים אם השאלה מבקשת.
מילים בשאלה מכוונות לפעולה. וגם כמעט תמיד אומר כפל, בתנאי שהמאורעות בלתי תלויים או שעדכנתם את המכנה בשליפה בלי החזרה. או אומר חיבור אם המאורעות לא יכולים לקרות יחד (זרים). אם הם יכולים לקרות יחד, מחברים ומחסירים את החיתוך. לפחות אחד כמעט תמיד זול יותר דרך המשלים: 1 פחות אף אחד.
דוגמה 1: קובייה הוגנת — מספר זוגי
- מרחב
שש תוצאות: 1 עד 6.
- רצויות
2, 4, 6 — שלוש תוצאות.
- חישוב
3/6 = 1/2, כלומר 50 אחוז.
- משלים
P(אי זוגי) גם 1/2, כי נשארו שלוש פאות.
- בדיקת טווח
התוצאה בין 0 ל־1, כמצופה.
דוגמה 2: שתי קוביות, סכום 7
- מרחב
6×6 = 36 תוצאות סדורות, כי (1,6) שונה מ־(6,1).
- רצויות
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — שש תוצאות.
- חישוב
6/36 = 1/6.
- השוואה
סכום 2 או 12 נדיר יותר: רק דרך אחת לכל קצה, 1/36.
- וגם מול או
לא כופלים כאן 1/6 ב־1/6, כי זו שאלה על זוגות במרחב של 36, לא שני מאורעות נפרדים של קובייה אחת.
דוגמה 3: כד בלי החזרה, שני כדורים אדומים
- מצב
בכד 3 אדומים ו־2 כחולים, סך הכל 5. שולפים שניים בזה אחר זה בלי להחזיר.
- שלב ראשון
P(אדום ראשון) = 3/5.
- שלב שני
נשארו 4 כדורים, מהם 2 אדומים. P(אדום שני | אדום ראשון) = 2/4.
- כפל
(3/5)×(2/4) = 6/20 = 3/10.
- למה לא 3/5 פעמיים
בלי החזרה המאורעות תלויים. המכנה והמונה משתנים אחרי השליפה הראשונה.
עץ מאורעות ומשלים של לפחות אחד
עץ מאורעות מתאים לניסוי עם כמה שלבים: הטלות, שליפות, הצלחה/כישלון. על כל ענף כותבים הסתברות, ובסוף מסלול מכפילים לאורך הענפים. אם כמה מסלולים מקיימים את השאלה, מחברים אותם בסוף. הסתברות כל הענפים שיוצאים מצומת חייבת להסתכם ל־1.
דוגמה קלאסית: מה הסיכוי שבשתי הטלות קובייה ייצא לפחות פעם אחת 6. דרך המשלים: P(אף פעם לא 6) = (5/6)×(5/6) = 25/36, לכן P(לפחות אחד) = 1 − 25/36 = 11/36. אם מחברים P(6 בראשונה) + P(6 בשנייה) בלי להחסיר את (6,6), סופרים פעמיים. נוסחת האיחוד: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
דוגמה 4: קלפים, אס או לב
בחפיסה 52 קלפים, 4 אסים, 13 לבבות, ואס לבבות אחד משותף. P(אס או לב) = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13. בלי חיסור החיתוך הייתם מקבלים 17/52, שזה סופר את אס הלבבות פעמיים. עם החזרה שני אסים: (4/52)×(4/52). בלי החזרה: (4/52)×(3/51). בלי החזרה הסיכוי קטן יותר כי אחרי אס ראשון נשארו פחות אסים ופחות קלפים.
הסתברות מותנית בקצרה
המילה אם בשאלה אומרת שמצמצמים את המרחב. מה הסיכוי שהקלף אדום אם יודעים שהוא דמות? יש 12 דמויות, מתוכן 6 אדומות, לכן 6/12 = 1/2. לא כופלים כאן הסתברויות של כל החפיסה. הנוסחה הכללית P(A|B) = P(A וגם B) / P(B). מותנה מופיע גם בכד בלי החזרה: ההסתברות בשלב השני כבר מותנית במה שיצא ראשון.
מטבע הוגן הוא דוגמה פשוטה לבלתי תלויים: P(עץ) = 1/2 בכל הטלה, גם אחרי שלושה עצים ברצף. הסיכוי לארבעה עצים ברצף הוא (1/2)^4 = 1/16. אנשים מרגישים שחייב לצאת פלי, אבל המטבע לא זוכר. שלושה ילדים במשפחה, בהנחה שילד וילדה שווי סיכוי: P(שלושה בנים) = 1/8. P(לפחות ילדה אחת) = 1 − 1/8 = 7/8. שוב המשלים חוסך ספירת שבעה מקרים מתוך שמונה. בקובייה שתי הטלות בלתי תלויות לגמרי: P(6 ואז זוגי) = (1/6)×(1/2) = 1/12, כי אחרי שיצא 6 ההטלה השנייה עדיין הוגנת.
ספירה מסודרת במקום ניחוש
כשהמרחב קטן, עדיף לרשום את כל הזוגות מאשר לנחש נוסחה. בשתי קוביות יש 36 תאים בטבלה. צבעו את התאים שמתאימים לשאלה וספרו. כך רואים למשל שסכום 8 מופיע חמש פעמים, לא שש כמו סכום 7. בכד עם צבעים אפשר לציין A1, A2, A3, K1, K2 כדי לא לבלבל בין כדורים מאותו צבע. אם השאלה מבקשת סדר, (אדום ואז כחול) שונה מ־(כחול ואז אדום), ושני המסלולים נספרים בנפרד ואז מחוברים אם השאלה היא רק שני צבעים שונים.
איך לחשוב בהסתברות בלי לקפוץ לנוסחה
לפני כל חישוב כתבו משפט בעברית: מה הניסוי, מה נחשב הצלחה, והאם התוצאות באמת שוות סיכוי. המשפט הזה מונע כפל אוטומטי במקום שבו צריך חיבור, וחיבור במקום שבו צריך משלים. עץ מאורעות לא חייב להיות יפה; הוא צריך להיות שלם. כל פיצול מסתכם לודאות מלאה, וכל מסלול שמקיים את השאלה נספר. אם העץ גדול מדי, זה רמז לעבור למשלים. בכד בלי החזרה אמרו בקול מה השתנה אחרי השליפה הראשונה: כמה כדורים נשארו, וכמה מהצבע המבוקש נשארו. הדיבור הזה מחליף את הטעות של להשאיר את אותם מספרים בשלב השני. כדאי לתרגל גם שאלות שבהן התשובה היא אפס או ודאות מלאה, כדי לזכור את גבולות המושג. הסתברות אינה תחושת בטן. רצף של תוצאות נדירות לא מחייב שהבאה תהיה הפוכה. המורה הטוב עוצר את התחושה ומחזיר לספירה. אם אתם מתכוננים לבגרות, תרגלו ניסוח תשובה מלא: שבר מצומצם, הסבר קצר, ולפעמים גם אחוזים אם השאלה מבקשת. ניסוח ברור מרוויח נקודות גם כשיש טעות חישוב קטנה בדרך.
טעויות נפוצות בהסתברות
- לחבר במקום לכפול במאורע וגם: שני 6 בקובייה אינם 1/3 אלא 1/36.
- לשכוח שההסתברות תמיד בין 0 ל־1.
- להתייחס למאורעות תלויים כאל בלתי תלויים, במיוחד כד בלי החזרה.
- לחבר או בלי להחסיר חיתוך כשהמאורעות יכולים לקרות יחד.
- לא לצמצם שבר, או לספור (1,6) בלי (6,1) בסכום קוביות.
- לפרש לפחות אחד כחיבור פשוט במקום משלים.
שאלות נפוצות
- איך מחשבים הסתברות?
- מגדירים מאורע, סופרים תוצאות רצויות ואת כל התוצאות האפשריות השוות־סיכוי, ומחלקים. לשלבים משתמשים בכפל, בחיבור או במשלים לפי ניסוח השאלה.
- מהי נוסחת ההסתברות הבסיסית?
- P(A) = מספר תוצאות רצויות חלקי סך כל התוצאות האפשריות, כשכל התוצאות שוות־סיכוי.
- מתי מכפילים הסתברויות?
- במאורע וגם של מאורעות בלתי תלויים, או לאורך ענף בעץ. דוגמה: פעמיים 6 בקובייה = 1/36.
- מתי מחברים הסתברויות?
- במאורע או של מאורעות זרים. אם הם לא זרים, מחברים ומחסירים את ההסתברות שהם קורים יחד.
- מה זה עץ מאורעות?
- תרשים שבו כל פיצול הוא שלב בניסוי. על כל ענף כותבים הסתברות, ובסוף מכפילים לאורך המסלול ומחברים מסלולים מתאימים.
- האם הסתברות יכולה להיות גדולה מ־1?
- לא. הסתברות תמיד בין 0 ל־1. אם יצא יותר מ־1 יש טעות בספירה או בפעולה.
רוצים לראות את מורה-מורה בגוגל?
הוסיפו אותנו כמקור מועדף — והתוכן שלנו יופיע גבוה יותר בחיפושים שלכם.