איך עושים כפל בהופכי

מה זה כפל בהופכי ולמה זה עובד

הופכי של שבר מתקבל מהחלפת מונה ומכנה. ההופכי של 2/3 הוא 3/2, ההופכי של 5 הוא 1/5, וההופכי של 4/1 הוא 1/4. מכפלה של שבר בהופכי שלו תמיד 1, ולכן חילוק בשבר שקול לכפל במה שהופך את החילוק לפעולה שמחזירה את המספר המקורי. במילים פשוטות: לחלק ב־1/2 זה כמו לשאול כמה חצאים יש, וזה בדיוק כפל ב־2. לחלק ב־4/5 זה כפל ב־5/4. זה הכלל שקוראים לו כפל בהופכי, והוא העיקר בחילוק שברים בחטיבה.

חשוב להבדיל מחיבור שברים. בחיבור חייבים מכנה משותף. בכפל ובחילוק לא. תלמידים שמחפשים מכנה משותף בכפל מבזבזים זמן ומבלבלים את עצמם. סדר העבודה בחילוק: השאירו את השבר הראשון, הפכו רק את השני, החליפו את סימן החילוק בכפל, צמצמו אלכסונית אם אפשר, ואז כפלו.

דוגמה 1: כפל שברים 2/3 × 4/5

1. מונים

   2 × 4 = 8.

2. מכנים

   3 × 5 = 15.

3. תוצאה

   8/15, ואי אפשר לצמצם.

4. הערה

   לא חיפשנו מכנה משותף. זה היה מיותר.

5. בדיקה במשמעות

   שני שלישים מ־4/5 הם חלק קטן מ־1, ו־8/15 אכן קטן מ־1.

דוגמה 2: כפל בהופכי, 2/3 ÷ 4/5

1. הופכי

   ההופכי של 4/5 הוא 5/4. השבר הראשון נשאר 2/3.

2. החלפה

   התרגיל הופך ל־2/3 × 5/4.

3. כפל

   10/12.

4. צמצום

   10/12 = 5/6.

5. בדיקה

   5/6 × 4/5 = 4/6 = 2/3. כלומר המנה כפול המחלק מחזירה את המחולק.

דוגמה 3: חילוק במספר שלם, 3/4 ÷ 6

1. כתיבה כשבר

   6 הוא 6/1, וההופכי 1/6.

2. כפל בהופכי

   3/4 × 1/6 = 3/24.

3. צמצום

   3/24 = 1/8.

4. משמעות

   לחלק לשש זה לקחת חלק שישי. שישית מ־3/4 היא 1/8.

5. טעות נפוצה כאן

   לחלק 3÷6 ו־4÷1 בנפרד בלי הופכי, ולקבל תשובה אחרת.

צמצום לפני הכפל ושבר מעורב

צמצום אלכסוני חוסך מספרים גדולים. ב־2/9 × 3/4 אפשר לצמצם 3 עם 9: נשאר 2/3 × 1/4 = 2/12 = 1/6. ב־4/9 × 3/8 מצמצמים 4 עם 8 ו־3 עם 9: 1/3 × 1/2 = 1/6. עושים את אותו דבר אחרי שהפכתם הופכי בחילוק, לא לפני ההיפוך על השבר הלא נכון.

שבר מעורב חייבים להפוך לשבר רגיל לפני כפל או חילוק. 1 1/2 הוא 3/2, לא 11/2. דוגמה: 1 1/2 × 2/5 = 3/2 × 2/5. מצמצמים 2: 3/1 × 1/5 = 3/5. חילוק עם מעורב: 2 1/4 ÷ 3/8. הופכים 2 1/4 ל־9/4, הופכי של 3/8 הוא 8/3, ואז 9/4 × 8/3. מצמצמים 4 עם 8: 9/1 × 2/3 = 18/3 = 6. בדיקה: 6 × 3/8 = 18/8 = 9/4 = 2 1/4.

דוגמה 4: מילה בשאלה - חלק מתוך חלק

המילים מתוך או של כמעט תמיד אומרות כפל, לא חילוק. שליש מ־3/4 הוא 1/3 × 3/4 = 1/4. אם המתכון ל־6 מנות ואתם רוצים 4, מכפילים כל כמות ב־4/6 = 2/3. אם כתוב 3/4 כוס קמח במתכון המקורי: 3/4 × 2/3 = 1/2 כוס. לחלק כמות לחלקים זה כפל בהופכי: לחלק 2/3 לשלושה חלקים שווים זה 2/3 ÷ 3 = 2/3 × 1/3 = 2/9.

מתי לא עושים כפל בהופכי

כפל בהופכי שייך לחילוק. אם התרגיל הוא כפל בלבד, רק כופלים מונים ומכנים. אם התרגיל הוא חיבור או חיסור, עוברים למכנה משותף ולא הופכים כלום. ערבוב הכללים הוא מקור לבלבול כרוני: תלמיד הופך שבר בחיבור, או מחפש מכנה משותף בחילוק. שאלו קודם איזו פעולה כתובה בין השברים. רק אחרי שהפעולה ברורה בוחרים כלל.

עוד תרגול מועיל: 5/6 ÷ 1/3. הופכי של 1/3 הוא 3/1 = 3, לכן 5/6 × 3 = 15/6 = 5/2. זה הגיוני: ב־5/6 יש כמה שלישים? קצת יותר משניים, ואכן 2.5. כפל שלושה שברים עובד באותו אופן: 1/2 × 2/3 × 3/4. מצמצמים 2 עם 2 ו־3 עם 3, נשאר 1/1 × 1/1 × 1/4 = 1/4. אם מופיע תרגיל מעורב כמו 1/2 + 2/3 × 3/4, קודם הכפל לפי סדר פעולות: 2/3 × 3/4 = 1/2, ואז 1/2 + 1/2 = 1. בלי סדר פעולות הייתם מחברים קודם וטועים. כפל בהופכי נכנס רק כשיש חילוק, לא אוטומטית בכל שבר שרואים.

כפל במספר שלם והופכי של שבר גדול מ־1

3 × 2/5 נכתב 3/1 × 2/5 = 6/5. זו תוצאה גדולה מ־1, וזה בסדר גמור: שלוש פעמים שני חמישיות הם יותר משלם. חילוק ב־5/2: ההופכי הוא 2/5, כלומר מספר גדול מ־1 מתחלק בשבר גדול מ־1 על ידי כפל בשבר קטן מ־1. למשל 4 ÷ 5/2 = 4/1 × 2/5 = 8/5. בדיקה: כמה פעמים נכנס 2.5 בתוך 4? קצת יותר מפעם וחצי, ואכן 1.6. אם יצא לכם מספר קטן מאוד בחילוק בשבר קטן, כנראה שכחתם להפוך: לחלק ב־1/5 צריך להגדיל, לא להקטין. זה המבחן המנטלי של כפל בהופכי: חילוק בשבר קטן מ־1 מגדיל, חילוק בשבר גדול מ־1 מקטין.

איך לזכור מתי הופכים ומתי לא

הבלבול בין כפל בהופכי לבין מכנה משותף הוא הסיבה העיקרית שנקודות נעלמות בשברים. לכן לפני כל תרגיל שאלו שאלה אחת: האם זו פעולת חילוק. רק אם התשובה חיובית הופכים את השבר שאחרי הסימן. אם זו פעולת כפל, כופלים בלי להפוך. אם זו פעולת חיבור או חיסור, עוצרים והולכים למכנה משותף. אפשר לסמן בעיפיל עיגול רק על השבר שצריך היפוך, כדי שהיד לא תהפוך את שניהם מתוך הרגל. שבר מעורב דורש תרגום קודם לשבר רגיל, אחרת הכפל יוצא חסר משמעות. תרגול טוב הוא לקחת אותו זוג שברים ולהריץ עליו ארבע פעולות בזה אחר זה, תוך אמירת הכלל בקול בכל פעם. כך המוח לומד לבחור כלל לפי פעולה ולא לפי מראה השבר. בבעיות מתכון, בד, צבע וזמן, המילה חלק או מתוך כמעט תמיד שייכת לכפל. המילה לחלק או כמה פעמים נכנס שייכת לחילוק ולכן לכפל בהופכי. קריאת המילה לפני המספרים חוסכת היפוך מיותר. בסוף תמיד צמצמו ובדקו אם התוצאה גדולה או קטנה ממה שציפיתם לפי ההגיון: חילוק בשבר קטן אמור להגדיל, לא להקטין. אם התוצאה הפוכה מההגיון, חזרו להופכי: כנראה הפכתם את השבר הראשון או שכחתם להפוך בכלל.

טעויות נפוצות בכפל בהופכי ובשברים

• להפוך את השבר הראשון במקום את השני בחילוק.
• לחפש מכנה משותף בכפל או בחילוק.
• לכפול שבר מעורב בלי להפוך אותו לשבר רגיל.
• לחלק מונים ומכנים בנפרד בלי הופכי.
• לשכוח לצמצם בסוף, למשל להשאיר 10/12.
• להפוך גם אחרי שכבר כפלו, כלומר להפעיל הופכי פעמיים.