נגזרת היא בסך הכל דרך לתאר את "קצב השינוי" של פונקציה מסוימת. אם נחשב את הנגזרת נגלה את שיפוע המשיק בכל נקודה על הגרף. אבל כדי לחשב נגזרת, חייבים לשלוט בכללים.
הכלל הבסיסי לבגרויות (פולינום)
אם הפונקציה היא מהצורה:
f(x) = a·xⁿ
הנגזרת תהיה:
f'(x) = n·a·xⁿ⁻¹
למשל: הנגזרת של 4x³ תהיה 12x² (ה-3 ירד בכפל, והחזקה קטנה באחד).
חוקי הברזל לגזירה
- נגזרת של מספר קבוע: כל מספר ללא x פשוט נעלם! הנגזרת של 7 היא 0.
- נגזרת של x נקי: הנגזרת של הפונקציה f(x)=x היא בדיוק 1. לפיכך הנגזרת של 5x תהיה פשוט 5.
הנגזרות המסובכות (מנה ומכפלה)
נגזרת של מכפלה (u·v)
כשיש שני פולינומים שמוכפלים זה בזה: קודם גוזרים את הראשון ומשאירים את השני, ועוד השני גזור כפול הראשון נקי.
(u·v)' = u'v + u·v'
נגזרת מנה או שבר (u/v)
המפלצת של הבגרויות! לוקחים את מחלק המכפלה מקודם במקום הפלוס שמים מינוס, ואת הפונקציה שבתחתית מעלים בריבוע תמידית.
(u/v)' = (u'v - u·v') / v²
שאלות נפוצות
- מהי נגזרת?
- מדד לקצב שינוי הפונקציה — שיפוע המשיק בכל נקודה.
- מה הנגזרת של xⁿ?
- n·xⁿ⁻¹ (מורידים את החזקה ומכפילים במעריך).
- איך גוזרים מנה u/v?
- (u'v − uv') / v².