איך גוזרים שבר

למה לא מחלקים נגזרות

נגזרת מודדת שיפוע. כשמחלקים שתי פונקציות, השיפוע תלוי גם איך המכנה משתנה. לכן מופיע איבר −uv′. אם v קבוע, v′=0 והנוסחה מתכווצת ל־u′/v — בדיוק גזירת פולינום חלקי מספר. זו בדיקה שהנוסחה הגיונית.

כלל המכפלה (uv)′=u′v+uv′ דומה אבל עם פלוס. כלל המנה הוא בעצם מכפלה עם v⁻¹. בבגרות כותבים את נוסחת המנה ולא חייבים לגזור כחזקה שלילית, אבל מי שמבין את הקשר טועה פחות בסימן.

דוגמה: f(x)=(x²+1)/(x−1)

1. מסמנים

   u=x²+1, u′=2x. v=x−1, v′=1.

2. מונה הנגזרת

   u′v−uv′=2x(x−1)−(x²+1)·1=2x²−2x−x²−1=x²−2x−1.

3. מכנה

   v²=(x−1)².

4. תוצאה

   f′(x)=(x²−2x−1)/(x−1)². תחום x≠1, כמו ל־f עצמה.

שבר עם פולינום במכנה ריבועי

g(x)=x/(x²+1). u=x, u′=1, v=x²+1, v′=2x. מונה: 1·(x²+1)−x·2x=x²+1−2x²=1−x². מכנה (x²+1)². הנגזרת (1−x²)/(x²+1)². כאן המכנה לעולם לא אפס — תחום כל הממשיים.

נקודות קיצון: מונים אפס כשהמכנה לא אפס. 1−x²=0 → x=±1. זה הגשר למדריך נקודת קיצון: אחרי שגזרתם שבר, ממשיכים כמו לכל נגזרת.

דוגמה: (3x−2)/5 — מכנה קבוע

1. v קבוע

   v=5, v′=0.

2. הצבה

   (3·5−(3x−2)·0)/25=15/25=3/5.

3. קיצור

   אפשר היה לגזור 3x/5−2/5 ולקבל 3/5 מיד. כלל המנה מסכים.

טעויות סימן וצמצום

הסדר u′v−uv′ הוא חובה. מי שכותב uv′−u′v הופך סימן לכל הנגזרת ומפסיד קיצון. דרך לזכור: נגזרת ראשונה כפול השנייה, פחות הראשונה כפול נגזרת שנייה — לפי סדר הכתיבה של השבר.

אחרי הגזירה אל תצמצמו מונה עם מכנה בלי להוציא גורם משותף אמיתי. (x−1)/(x−1)² מצטמצם ל־1/(x−1) רק כש־x≠1, וזה כבר היה מחוץ לתחום. כותבים תחום במפורש בחקירה.

טעויות נפוצות בבגרות

• נגזרת מונה חלקי נגזרת מכנה.
• לשכוח ריבוע במכנה — לכתוב v במקום v².
• להפוך את סדר החיסור במונה.
• לגזור מכנה כאילו הוא u.
• לשכוח ש־v≠0 בתחום.

קשר לכלל המכפלה ולחקירה

אם כתוב (2x+1)(x−3) זה מכפלה לא שבר. שבר הוא קו חילוק. לפעמים כדאי לפשט לפני גזירה: (x²−1)/(x−1)=x+1 כש־x≠1, והנגזרת 1 — קל יותר מכלל מנה. תמיד בדקו פישוט קודם.

בחקירת פונקציה נגזרת השבר נותנת שיפוע, אפסים לקיצון, וסימן לטבלה. המכנה בריבוע תמיד חיובי כשהוא מוגדר — לכן סימן הנגזרת הוא סימן המונה u′v−uv′.