מה זה פרבולה

איך מזהים פרבולה מהמשוואה

המעריך הגבוה ביותר חייב להיות 2. y=x³ אינה פרבולה. y=2x+1 ישר. y=−x²+4x פרבולה הפוכה. המקדם a שולט ברוחב: |a| גדול מכווץ, |a| קטן מרחיב.

חיתוך עם ציר y הוא c, כי f(0)=c. זו הנקודה הראשונה שמסמנים בגרף. אחר כך קודקוד, אחר כך שורשים אם נוח.

דוגמה: y=x² − 4x + 3

1. כיוון

   a=1>0, נפתחת למעלה, קיצון מינימום.

2. קודקוד x

   −b/2a=4/2=2.

3. קודקוד y

   f(2)=4−8+3=−1. קודקוד (2,−1).

4. שורשים

   x²−4x+3=(x−1)(x−3)=0. חיתוך (1,0) ו־(3,0). ציר סימטריה x=2 באמצע.

צורת קודקוד y=a(x−h)²+k

כאן הקודקוד הוא ממש (h,k). y=2(x−3)²+5 קודקוד (3,5), נפתחת למעלה. זו צורה נוחה אחרי השלמה לריבוע. בבגרות לפעמים מבקשים לעבור מצורה כללית לקודקוד.

השלמה לריבוע: x²−4x+3=(x−2)²−4+3=(x−2)²−1, וזה מתאים לקודקוד (2,−1) שכבר מצאנו.

קשר למשוואה ריבועית ולקיצון

לפתור y=0 זו משוואה ריבועית. דלתא קובעת כמה חיתוכים עם ציר x. הקודקוד הוא נקודת קיצון של פולינום ממעלה שנייה — נגזרת 2ax+b=0 נותנת אותו x=−b/(2a). בחדו״א זו דוגמת הבסיס לנקודת קיצון.

בעיות מילה: גובה קליע, רווח מקסימלי, שטח גדר. המקסימום או המינימום בקודקוד. בודקים תחום הגיוני (זמן חיובי, אורך חיובי).

טעויות נפוצות

• לחבר את השורשים במקום למצוא אמצע לציר סימטריה.
• לשכוח לחשב y של הקודקוד — לכתוב רק x.
• לבלבל כיוון פתיחה לפי הסימן של c במקום a.
• לחשוב שכל U בגרף הוא פרבולה — בלי משוואה ריבועית זה לא מדויק.
• להחליף שטח מתחת לפרבולה עם היקף.

שרטוט מהיר במבחן

שלוש נקודות מספיקות לסקיצה: חיתוך y, קודקוד, ונקודה סימטרית. אם יש שורשים — מצוין. חצים בכיוון הפתיחה. כתבו את ציר הסימטריה בקו מקווקו.

אם דלתא שלילית הפרבולה כולה מעל הציר (a>0) או כולה מתחת (a<0) ולא חותכת. עדיין יש קודקוד — זה המינימום או המקסימום הגלובלי.