נוסחת המרחק בין שתי נקודות

מאיפה הנוסחה מגיעה

סמנו שתי נקודות במערכת צירים ומתחו ביניהן קו. עכשיו העבירו קו אופקי מהנקודה הראשונה וקו אנכי מהשנייה. שלושת הקווים יוצרים משולש ישר זווית: הניצב האופקי באורך הפרש האיקסים, הניצב האנכי באורך הפרש הוואיים, והיתר הוא המרחק שאנחנו מחפשים.

מכאן זה פשוט משפט פיתגורס. אין כאן נוסחה חדשה לזכור — יש נוסחה אחת שאתם כבר מכירים, כתובה בשפה של קואורדינטות. מי שמבין את זה לא צריך לשנן.

דוגמה פתורה

מהו המרחק בין הנקודות (2, 3) ו־(6, 6)?

1. מחשבים את הפרש האיקסים

   6 − 2 = 4

2. מחשבים את הפרש הוואיים

   6 − 3 = 3

3. מעלים בריבוע ומחברים

   4² + 3² = 16 + 9 = 25

4. מוציאים שורש

   √25 = 5

דוגמה עם מספרים שליליים

מהו המרחק בין (−3, 4) ו־(5, −2)?

1. הפרש האיקסים

   5 − (−3) = 8

2. הפרש הוואיים

   −2 − 4 = −6

3. מעלים בריבוע

   8² + (−6)² = 64 + 36 = 100

4. שורש

   √100 = 10

נוסחת אמצע קטע

בדרך כלל נלמדת יחד עם נוסחת המרחק. נקודת האמצע של קטע היא פשוט הממוצע של הקואורדינטות: האיקס של האמצע הוא ממוצע שני האיקסים, והוואי הוא ממוצע שני הוואיים.

אמצע הקטע בין (2, 3) ו־(6, 6) הוא ((2+6)÷2, (3+6)÷2) = (4, 4.5).

איפה משתמשים בזה

• להוכיח שמשולש הוא שווה שוקיים או שווה צלעות — מחשבים את שלוש הצלעות ומשווים.
• להוכיח שמרובע הוא מעוין — כל ארבע הצלעות יוצאות שוות.
• למצוא רדיוס של מעגל כשידועים המרכז ונקודה על ההיקף.
• לבדוק אם נקודה נמצאת בתוך מעגל, עליו או מחוצה לו — משווים את המרחק מהמרכז לרדיוס.
• לחשב היקף של מצולע שקודקודיו נתונים בקואורדינטות.

דוגמה: איזה סוג משולש

קודקודי משולש הם A(0,0), B(4,0), C(2,5). איזה סוג משולש זה?

1. AB

   √((4−0)² + 0²) = √16 = 4

2. AC

   √(2² + 5²) = √29

3. BC

   √((2−4)² + 5²) = √(4 + 25) = √29

4. מסקנה

   AC = BC, ולכן המשולש שווה שוקיים.

טעויות נפוצות

• לשכוח להוציא שורש בסוף ולהגיש את הריבוע של המרחק.
• לטעות בחיסור של מספר שלילי.
• לחבר את ההפרשים לפני ההעלאה בריבוע במקום אחריה.
• לערבב קואורדינטות של נקודות שונות: תמיד x עם x ו־y עם y.
• לבלבל בין נוסחת המרחק לנוסחת האמצע — באחת מחסרים, בשנייה מחברים ומחלקים.

תרגול עם פתרונות

1. המרחק בין (1,1) ו־(4,5)

   √(3² + 4²) = √25 = 5

2. המרחק בין (−2,−2) ו־(1,2)

   √(3² + 4²) = 5

3. אמצע הקטע בין (−4, 2) ו־(6, 8)

   (1, 5)

4. האם (3,4) נמצאת על מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 5?

   המרחק מהראשית הוא √(9+16) = 5, ולכן כן — הנקודה על המעגל בדיוק.