משפט פיתגורס

מה כל אות אומרת

• a ו-b הם הניצבים: שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה.
• c הוא היתר: הצלע שמול הזווית של 90 מעלות. הוא תמיד הארוך מבין השלוש.
• המשפט נכון רק במשולש ישר זווית. במשולש אחר צריך כלים אחרים, כמו משפט הקוסינוסים.

לפני כל תרגיל: מסמנים את הזווית הישרה, מסמנים את הצלע שמולה כיתר, ורק אז מחליטים מה מחפשים.

שני המקרים: יתר חסר או ניצב חסר

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: מציאת היתר

במשולש ישר זווית הניצבים הם 6 ס"מ ו-8 ס"מ. מה אורך היתר?

1. מציבים

   c² = 6² + 8²

2. מחשבים

   c² = 36 + 64 = 100

3. מוציאים שורש

   c = √100 = 10

4. בודקים היגיון

   10 ארוך משני הניצבים, כמו שהיתר צריך להיות. התשובה: 10 ס"מ.

דוגמה 2: מציאת ניצב

היתר הוא 13 ס"מ ואחד הניצבים 5 ס"מ. מה אורך הניצב השני?

1. מבודדים את הניצב

   b² = 13² - 5²

2. מחשבים

   b² = 169 - 25 = 144

3. מוציאים שורש

   b = 12

4. תשובה

   12 ס"מ. כאן מחסרים ולא מחברים, כי מחפשים ניצב.

דוגמה 3: סולם על קיר

סולם באורך 5 מטר נשען על קיר. רגל הסולם רחוקה 3 מטר מהקיר. לאיזה גובה מגיע הסולם?

1. מזהים את המשולש

   הקיר והרצפה יוצרים זווית ישרה. הסולם מול הזווית הזו, ולכן הוא היתר: 5.

2. הגובה הוא ניצב

   h² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16

3. מוציאים שורש

   h = 4

4. תשובה

   הסולם מגיע לגובה 4 מטר.

דוגמה 4: תשובה עם שורש

מה אורך האלכסון של מלבן שצלעותיו 4 ו-6?

1. האלכסון הוא יתר

   האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי זווית, והצלעות הן הניצבים.

2. מציבים

   d² = 16 + 36 = 52

3. מפשטים את השורש

   d = √52 = √(4 · 13) = 2√13

4. תשובה

   2√13, בערך 7.21. מפשטים לפי חוקי חזקות ושורשים.

דוגמה 5: גובה במשולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים השוקיים באורך 10 והבסיס 12. מה אורך הגובה לבסיס?

1. יוצרים זווית ישרה

   הגובה לבסיס חוצה אותו ויוצר שני משולשים ישרי זווית. בכל אחד: יתר 10, ניצב 6 (חצי בסיס).

2. מבודדים את הגובה

   h² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64

3. תשובה

   h = 8. שימו לב: 6, 8, 10 היא שלישיית פיתגורס.

שלישיות פיתגורס

שלישיית פיתגורס היא שלושה מספרים שלמים שמקיימים את המשפט. כדאי להכיר: 3, 4, 5   5, 12, 13   8, 15, 17   7, 24, 25. גם כל כפולה עובדת: 6, 8, 10 ו-9, 12, 15 הן 3, 4, 5 כפול 2 וכפול 3. מי שמזהה שלישייה במבחן חוסך את כל החישוב.

משפט פיתגורס ההפוך

אם במשולש a² + b² = c², כאשר c הצלע הארוכה, אז המשולש ישר זווית. בודקים את 9, 12, 15: 81 + 144 = 225 = 15², ולכן כן. בודקים את 5, 5, 7: 25 + 25 = 50, ו-7² = 49, ולכן לא.

למה המשפט נכון

מציירים ריבוע על כל צלע של המשולש. השטח של הריבוע על היתר שווה בדיוק לסכום השטחים של שני הריבועים על הניצבים. במשולש 3, 4, 5 אלה 9 ו-16 משבצות, שביחד ממלאות 25. יש לזה עשרות הוכחות, וחלקן מבוססות על חיתוך הריבועים והזזתם.

טעויות נפוצות

• מחברים כשמחפשים ניצב: צריך לחסר מריבוע היתר.
• שוכחים את השורש: אחרי c² = 100 התשובה היא 10, לא 100.
• √(a² + b²) אינו a + b: √(9 + 16) = 5, לא 7.
• בוחרים יתר לא נכון: היתר הוא תמיד מול הזווית הישרה, לא הצלע שמופיעה אחרונה בשרטוט.
• משתמשים במשפט במשולש שאינו ישר זווית.
• יחידות מעורבות: ס"מ ומטרים באותו תרגיל בלי המרה.

לאן ממשיכים

עם שלוש צלעות אפשר למצוא זוויות בעזרת סינוס וקוסינוס. המרחק בין שתי נקודות במערכת צירים הוא פיתגורס על הפרשי השיעורים: נוסחת המרחק בין שתי נקודות. על כל התכונות של המשולש: משולש ישר זווית. מתכוננים למבחן בגיאומטריה? מורה פרטי למתמטיקה.