דלתון

איך מזהים דלתון

המילה המכריעה היא סמוכות. בדלתון שתי צלעות שנפגשות בקודקוד שוות זו לזו, ושתי הצלעות האחרות, שגם הן נפגשות בקודקוד, שוות זו לזו — אבל באורך אחר. זה שונה ממקבילית, שבה הצלעות הנגדיות שוות.

הצורה מזכירה עפיפון, ומשם השם. שני הקודקודים שבהם נפגשות צלעות שוות נקראים קודקודי הראש, והאלכסון שמחבר ביניהם הוא האלכסון הראשי.

תכונות הדלתון

• שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.
• האלכסון הראשי הוא אנך אמצעי לאלכסון המשני: הוא ניצב לו וגם חוצה אותו.
• האלכסון הראשי חוצה את שתי זוויות הראש.
• האלכסון הראשי הוא ציר סימטריה של הדלתון, וחוצה אותו לשני משולשים חופפים.
• זוג הזוויות הנגדיות שבין הצלעות הלא שוות — זוויות הכנף — שוות זו לזו.
• האלכסון המשני אינו חוצה את האלכסון הראשי, אלא אם הדלתון הוא מעוין.

נוסחת השטח ולמה היא עובדת

מכיוון שהאלכסונים ניצבים זה לזה, הדלתון מתחלק לארבעה משולשים ישרי זווית. כשמסכמים את שטחיהם מקבלים בדיוק מחצית ממכפלת האלכסונים. דרך אחרת לראות זאת: הדלתון חסום במלבן שצלעותיו הן אורכי האלכסונים, והוא תופס בדיוק חצי משטחו.

1. דוגמה

   אלכסון ראשי 12, אלכסון משני 7. מה השטח?

2. מציבים

   (12 × 7) ÷ 2 = 84 ÷ 2 = 42 יחידות רבועות

דוגמה פתורה: מציאת אלכסון חסר

שטח דלתון הוא 60, והאלכסון הראשי 15. מה אורך האלכסון המשני?

1. מציבים בנוסחה

   60 = (15 × d) ÷ 2

2. מכפילים ב־2

   120 = 15d

3. מחלקים

   d = 8

דוגמה פתורה: שטח לפי צלעות

בדלתון צלעות סמוכות 10 ו־10, והזוג השני 17 ו־17. האלכסון המשני הוא 16. מה השטח?

1. חצי האלכסון המשני

   16 ÷ 2 = 8 — כי הראשי חוצה אותו

2. פיתגורס בחלק העליון

   √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6

3. פיתגורס בחלק התחתון

   √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15

4. האלכסון הראשי

   6 + 15 = 21

5. השטח

   (21 × 16) ÷ 2 = 168

דלתון מול מעוין מול מקבילית

מעוין הוא דלתון שבו כל ארבע הצלעות שוות. לכן כל מעוין הוא דלתון, אבל לא כל דלתון הוא מעוין. במעוין שני האלכסונים חוצים זה את זה, ובדלתון כללי רק הראשי חוצה את המשני.

מקבילית היא לא דלתון בדרך כלל, כי בה שוות הצלעות הנגדיות ולא הסמוכות. הצורה היחידה שהיא גם מקבילית וגם דלתון היא המעוין.

טעויות נפוצות

• לחשוב שצלעות נגדיות שוות. בדלתון שוות הסמוכות.
• להניח ששני האלכסונים חוצים זה את זה. רק הראשי חוצה.
• לומר שכל ארבע הזוויות שונות. זוויות הכנף שוות.
• להשתמש בנוסחת שטח של מקבילית.
• לשכוח לחלק ב־2 בנוסחת השטח.

תרגול עם פתרונות

1. אלכסונים 9 ו־14. מה השטח?

   (9 × 14) ÷ 2 = 63.

2. שטח 96 ואלכסון משני 12. מה הראשי?

   96 = (d × 12) ÷ 2, כלומר 192 = 12d ומכאן d = 16.

3. נכון או לא נכון: בכל דלתון האלכסונים חוצים זה את זה.

   לא נכון. רק האלכסון הראשי חוצה את המשני; ההפך נכון רק במעוין.