משולש ישר זווית

ניצבים ויתר

היתר הוא תמיד הצלע שמול הזווית הישרה, והיא תמיד הארוכה מבין השלוש. שני הניצבים הם הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה. זיהוי נכון של מי היתר הוא התנאי לכל חישוב בהמשך.

מכיוון שסכום זוויות במשולש הוא 180, ואחת מהן 90, שתי הזוויות החדות מסתכמות ל־90 מעלות. אם אחת מהן 35 מעלות, השנייה חייבת להיות 55.

שטח — המקרה הקל

שני הניצבים כבר ניצבים זה לזה, ולכן אחד מהם הוא הבסיס והשני הגובה. השטח הוא מכפלתם חלקי 2, והיתר לא נכנס לחישוב.

ניצבים 5 ו־12: השטח הוא (5 × 12) ÷ 2 = 30. היתר, שהוא 13, לא רלוונטי לשטח.

משפט פיתגורס

סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. זה עובד רק במשולש ישר זווית, ורק כאשר c הוא היתר.

1. מציאת יתר

   ניצבים 6 ו־8: c² = 36 + 64 = 100, ולכן c = 10.

2. מציאת ניצב

   יתר 13, ניצב אחד 5: b² = 169 − 25 = 144, ולכן b = 12.

שלשות פיתגוריות

שלוש מספרים שלמים שמקיימים את המשפט. כדאי להכיר את הנפוצות, כי הן חוסכות חישוב במבחן:

• 3, 4, 5 — וכל הכפולות שלה: 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50.
• 5, 12, 13
• 8, 15, 17
• 7, 24, 25

אם ראיתם ניצבים 9 ו־12, אתם יכולים לכתוב 15 מיד בלי לחשב — זו 3-4-5 כפול 3.

המשולשים המיוחדים

שני משולשים ישרי זווית חוזרים כל כך הרבה שהיחסים שלהם שווים שינון:

1. 45-45-90

   חצי ריבוע. שני הניצבים שווים, והיתר גדול פי שורש 2. אם ניצב הוא 5, היתר הוא 5√2.

2. 30-60-90

   חצי משולש שווה צלעות. הניצב מול 30 הוא חצי היתר, והניצב מול 60 הוא חצי היתר כפול שורש 3. אם היתר 10, הניצבים הם 5 ו־5√3.

היחסים הטריגונומטריים

במשולש ישר זווית מוגדרים שלושת היחסים הבסיסיים ביחס לזווית חדה:

• סינוס = הניצב שמול הזווית חלקי היתר.
• קוסינוס = הניצב שליד הזווית חלקי היתר.
• טנגנס = הניצב שמול חלקי הניצב שליד.

במשולש עם ניצבים 3 ו־4 ויתר 5, ביחס לזווית שמול הניצב 3: הסינוס הוא 0.6, הקוסינוס 0.8, והטנגנס 0.75.

טעויות נפוצות

• לזהות את הצלע הלא נכונה כיתר.
• לחבר במקום לחסר כשמחפשים ניצב.
• להשתמש בפיתגורס במשולש שאינו ישר זווית.
• לשכוח להוציא שורש בסוף.
• לבלבל בין הניצב שמול לניצב שליד ביחסים הטריגונומטריים.

תרגול עם פתרונות

1. ניצבים 9 ו־12. מה היתר?

   שלשה 3-4-5 כפול 3, ולכן 15.

2. יתר 25, ניצב 7. מה הניצב השני?

   625 − 49 = 576, ושורש 576 הוא 24.

3. במשולש 45-45-90 היתר הוא 8. מה הניצב?

   8 ÷ √2 = 4√2 ≈ 5.66.

4. במשולש 30-60-90 היתר 14. מה הניצב מול 30?

   חצי היתר, כלומר 7.

5. ניצבים 5 ו־12. מה השטח?

   (5 × 12) ÷ 2 = 30.