שטח משולש

איזה קטע הוא הגובה

הגובה הוא הקטע שיוצא מקודקוד ופוגע בצלע שמולו בזווית של 90 מעלות. זו הנקודה שבה רוב הטעויות נוצרות: תלמידים לוקחים צלע אלכסונית וקוראים לה גובה. אם הקטע לא ניצב לבסיס — הוא לא הגובה, והתשובה תצא גדולה מדי.

לכל משולש יש שלושה גבהים, אחד לכל צלע. כל זוג של בסיס והגובה המתאים לו נותן את אותו שטח, ולכן אפשר לבחור את הזוג הנוח ביותר מבין הנתונים. אם נתונים שני גבהים ושני בסיסים, השתמשו בזוג שמשתייך זה לזה, לא באיזה שניים שבא לכם.

במשולש קהה זווית הגובה לאחת הצלעות נופל מחוץ למשולש. זה נראה מוזר אבל הנוסחה עובדת בדיוק אותו דבר — משתמשים באורך הבסיס המקורי ובאורך הגובה, גם אם הגובה מצויר החוצה.

דוגמה פתורה

במשולש הבסיס הוא 14 סנטימטר והגובה אליו הוא 9 סנטימטר. מה השטח?

1. מציבים בנוסחה

   S = (14 × 9) ÷ 2

2. מכפילים

   14 × 9 = 126

3. מחלקים ב־2

   126 ÷ 2 = 63 סנטימטר רבוע

משולש ישר זווית — המקרה הקל

במשולש ישר זווית שני הניצבים כבר ניצבים זה לזה, ולכן אחד מהם הוא הבסיס והשני הוא הגובה. אין צורך לחפש או לבנות גובה: פשוט מכפילים את שני הניצבים ומחלקים ב־2.

אם הניצבים הם 6 ו־8, השטח הוא (6 × 8) ÷ 2 = 24. שימו לב שהיתר, שאורכו 10 במקרה הזה, לא נכנס לחישוב בכלל.

כשנתונות שלוש צלעות: נוסחת הרון

לפעמים נתונות שלוש הצלעות ואף גובה. במקרה כזה משתמשים בנוסחת הרון. מחשבים חצי היקף s = (a + b + c) ÷ 2, ואז השטח הוא השורש של המכפלה s(s − a)(s − b)(s − c).

1. דוגמה: צלעות 5, 6, 7

   חצי היקף: s = (5 + 6 + 7) ÷ 2 = 9

2. מציבים

   9 × (9−5) × (9−6) × (9−7) = 9 × 4 × 3 × 2 = 216

3. מוציאים שורש

   √216 ≈ 14.7 יחידות רבועות

כשנתונות שתי צלעות והזווית ביניהן

אם ידועות שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן, השטח הוא חצי מכפלת הצלעות בסינוס הזווית: S = (a × b × sin C) ÷ 2. הזווית חייבת להיות זו שבין שתי הצלעות הנתונות, אחרת הנוסחה לא תקפה.

לדוגמה, שתי צלעות באורך 8 ו־10 עם זווית של 30 מעלות ביניהן: sin 30° = 0.5, ולכן השטח הוא (8 × 10 × 0.5) ÷ 2 = 20.

טעויות נפוצות

• לשכוח לחלק ב־2 — זו הטעות מספר אחת, ומכפילה את התשובה.
• להשתמש בצלע אלכסונית במקום בגובה הניצב.
• לצמד בסיס עם גובה שלא שייך לו כששניהם נתונים.
• לרשום את התשובה ביחידות אורך במקום ביחידות שטח.
• בנוסחת הרון: לשכוח להוציא שורש בסוף.

תרגול עם פתרונות

1. בסיס 20, גובה 7. מה השטח?

   (20 × 7) ÷ 2 = 70.

2. שטח משולש הוא 48 והבסיס 12. מה הגובה?

   מהנוסחה: 48 = (12 × h) ÷ 2, כלומר 96 = 12h, ולכן h = 8.

3. משולש ישר זווית עם ניצבים 9 ו־12. מה השטח?

   (9 × 12) ÷ 2 = 54. היתר, שהוא 15, לא רלוונטי.

4. שתי צלעות 6 ו־6 וזווית 90 מעלות ביניהן. מה השטח?

   sin 90° = 1, ולכן (6 × 6 × 1) ÷ 2 = 18.