זוויות קודקודיות

איך הן נוצרות

כששני ישרים נחתכים נוצרות ארבע זוויות סביב נקודת החיתוך. כל שתיים סמוכות הן זוויות צמודות ומסתכמות ל־180 מעלות. כל שתיים נגדיות הן זוויות קודקודיות ושוות זו לזו.

זו ההבחנה הכי חשובה בנושא: סמוכות מסתכמות ל־180, נגדיות שוות. אם תזכרו רק את המשפט הזה, כל שאלה בצומת של שני ישרים נפתרת.

ההוכחה, בשתי שורות

סמנו את ארבע הזוויות במעגל: α, β, γ, δ. הזוויות α ו־β צמודות, ולכן α + β = 180. הזוויות β ו־γ גם הן צמודות, ולכן β + γ = 180.

משוואות עם אותו אגף ימין: α + β = β + γ. מחסרים β משני האגפים ומקבלים α = γ. זהו — התכונה מוכחת, והיא לא הניחה שום דבר על מקבילות.

דוגמה פתורה

שני ישרים נחתכים. אחת הזוויות היא 47 מעלות. מצאו את שלוש האחרות.

1. הקודקודית לה

   47 מעלות — קודקודיות שוות.

2. הצמודה לה

   180 − 47 = 133 מעלות.

3. והקודקודית לזו

   133 מעלות.

4. בדיקה

   47 + 133 + 47 + 133 = 360 — סכום הזוויות סביב נקודה.

דוגמה עם משתנה

שתי זוויות קודקודיות: 3x + 12 ו־5x − 28. מצאו אותן.

1. קודקודיות שוות

   3x + 12 = 5x − 28

2. מעבירים

   40 = 2x

3. פותרים

   x = 20, ושתי הזוויות הן 72 מעלות

למה זה שונה מכל שאר הזוויות

זוויות מתאימות, מתחלפות וחד צדדיות דורשות כולן ששני הישרים יהיו מקבילים. זוויות קודקודיות לא. הן שוות בכל צומת, בכל זווית חיתוך, תמיד.

זה הופך אותן לכלי הבטוח ביותר בהוכחות: אפשר להשתמש בהן בלי להצדיק שום הנחה מוקדמת.

טעויות נפוצות

• להניח שנדרשת מקבילות. לא נדרשת.
• לקרוא לשתי זוויות סמוכות קודקודיות. סמוכות מסתכמות ל־180, לא שוות.
• לחשוב שקודקודיות מסתכמות ל־180. הן שוות.
• לבלבל עם זוויות נגדיות במרובע חסום, שם דווקא הסכום הוא 180.

תרגול עם פתרונות

1. קודקודית לזווית של 88 מעלות?

   88 מעלות.

2. צמודה לזווית של 88 מעלות?

   92 מעלות.

3. קודקודיות: 4x ו־2x + 36. מצאו את x.

   4x = 2x + 36, כלומר 2x = 36 ומכאן x = 18, והזוויות 72.

4. האם שתי זוויות קודקודיות יכולות להסתכם ל־180?

   כן, אם כל אחת מהן 90 מעלות — כלומר הישרים ניצבים.