שטח טרפז

מה זה טרפז ואיך מזהים את הבסיסים

טרפז הוא מרובע שבו זוג אחד של צלעות נגדיות מקביל. שתי הצלעות המקבילות נקראות בסיסים, ושתי האחרות נקראות שוקיים. הבסיסים כמעט תמיד באורכים שונים — אם הם שווים, קיבלתם מקבילית.

הטעות הראשונה שתלמידים עושים היא לקחת שוק במקום בסיס. הבסיסים הם המקבילים, ובציור סטנדרטי הם העליון והתחתון. השוקיים הן האלכסוניות בצדדים, והן לא נכנסות לנוסחת השטח בכלל.

הגובה הוא המרחק הניצב בין שני הבסיסים — לא אורך השוק. רק בטרפז ישר זווית, שבו אחת השוקיים ניצבת לבסיסים, השוק הזו היא גם הגובה.

למה הנוסחה עובדת

קחו את הטרפז, שכפלו אותו וסובבו את העותק ב־180 מעלות. שני העותקים יחד מרכיבים מקבילית שהבסיס שלה הוא a + b והגובה שלה הוא h. שטח המקבילית הוא (a + b) × h, והטרפז הוא חצי ממנה. מכאן החלוקה ב־2.

הניסוח השני של אותה נוסחה הוא שימושי במבחן: (a + b) ÷ 2 הוא בדיוק קטע האמצעים של הטרפז — הקטע המחבר את אמצעי השוקיים. כלומר שטח טרפז הוא קטע האמצעים כפול הגובה.

דוגמה פתורה

בטרפז הבסיסים הם 8 ו־14 סנטימטר והגובה 6 סנטימטר. מה השטח?

1. מחברים את הבסיסים

   8 + 14 = 22

2. מחלקים ב־2

   22 ÷ 2 = 11 — זה גם אורך קטע האמצעים

3. מכפילים בגובה

   11 × 6 = 66 סנטימטר רבוע

מציאת גובה או בסיס חסר

כשהשטח נתון ואחד המרכיבים חסר, מציבים בנוסחה ופותרים משוואה.

1. נתון שטח 90, בסיסים 7 ו־11. מה הגובה?

   90 = ((7 + 11) ÷ 2) × h = 9h, ולכן h = 10.

2. נתון שטח 84, גובה 7, בסיס אחד 5. מה הבסיס השני?

   84 = ((5 + b) ÷ 2) × 7. מחלקים ב־7: 12 = (5 + b) ÷ 2. מכפילים ב־2: 24 = 5 + b, ולכן b = 19.

טרפז ישר זווית וטרפז שווה שוקיים

בטרפז ישר זווית אחת השוקיים ניצבת לשני הבסיסים, ולכן היא עצמה הגובה. זה המקרה הנוח ביותר, כי לא צריך לחפש או לחשב את הגובה בנפרד.

בטרפז שווה שוקיים שתי השוקיים שוות באורכן, זוויות הבסיס שוות, והאלכסונים שווים. אם צריך למצוא את הגובה משוק ומבסיסים, מורידים שני גבהים מהקודקודים העליונים ומקבלים משולש ישר זווית שבו אפשר להשתמש במשפט פיתגורס. אורך הבליטה בכל צד הוא (הבסיס הגדול פחות הבסיס הקטן) חלקי 2.

1. דוגמה

   טרפז שווה שוקיים, בסיסים 16 ו־10, שוק 5. מה הגובה?

2. מחשבים את הבליטה

   (16 − 10) ÷ 2 = 3

3. פיתגורס במשולש הישר זווית

   h בריבוע = 5 בריבוע − 3 בריבוע = 25 − 9 = 16, ולכן h = 4

4. ומכאן השטח

   ((16 + 10) ÷ 2) × 4 = 13 × 4 = 52

טעויות נפוצות

• לקחת שוק במקום גובה. השוק ארוכה מהגובה בכל טרפז שאינו ישר זווית.
• לחבר את הבסיסים בלי סוגריים ולחלק רק את אחד מהם ב־2.
• לזהות את השוקיים כבסיסים. הבסיסים הם המקבילים.
• לשכוח שהיחידות בריבוע.
• להניח שהבסיסים שווים ולפתור כמקבילית.

תרגול עם פתרונות

1. בסיסים 9 ו־15, גובה 4. מה השטח?

   ((9 + 15) ÷ 2) × 4 = 12 × 4 = 48.

2. שטח 150, בסיסים 12 ו־18. מה הגובה?

   ((12 + 18) ÷ 2) = 15, ולכן 150 = 15h ומכאן h = 10.

3. קטע האמצעים הוא 11 והגובה 6. מה השטח?

   11 × 6 = 66 — אין צורך בבסיסים בכלל.