קטע אמצעים בטרפז

מה זה קטע אמצעים

בכל טרפז יש שתי שוקיים — הצלעות שאינן מקבילות. אם מסמנים את נקודת האמצע של כל אחת מהן ומחברים ביניהן, מקבלים את קטע האמצעים. הוא נקרא לפעמים גם קטע אמצעי השוקיים או הקטע התיכון.

שתי התכונות שלו הן שהוא מקביל לשני הבסיסים, ושאורכו הוא בדיוק הממוצע שלהם. זה הגיוני אינטואיטיבית: הוא נמצא בדיוק באמצע הדרך בין הבסיס הקצר לארוך, ולכן אורכו נמצא בדיוק באמצע הדרך בין שני האורכים.

דוגמה פתורה

בטרפז הבסיסים הם 6 ו־14. מה אורך קטע האמצעים?

1. מחברים

   6 + 14 = 20

2. מחלקים ב־2

   20 ÷ 2 = 10

מציאת בסיס חסר

זה השימוש הנפוץ יותר במבחן. אם קטע האמצעים ובסיס אחד נתונים, מוצאים את הבסיס השני.

1. נתון

   קטע אמצעים 9, בסיס אחד 5. מה הבסיס השני?

2. מציבים

   9 = (5 + b) ÷ 2

3. מכפילים ב־2

   18 = 5 + b

4. מחסרים

   b = 13

הקשר לשטח הטרפז

שטח טרפז הוא ((a + b) ÷ 2) × h, וזה בדיוק קטע האמצעים כפול הגובה. כלומר אם קטע האמצעים והגובה ידועים, השטח הוא פשוט המכפלה שלהם — בלי צורך לדעת את הבסיסים בכלל.

אם קטע האמצעים הוא 11 והגובה 6, השטח הוא 66. זו אחת מקיצורי הדרך השימושיים ביותר בפרק המרובעים.

תכונה נוספת: חציית האלכסונים

קטע האמצעים חוצה גם את שני האלכסונים של הטרפז. יתרה מכך, הקטע שנוצר בין שתי נקודות החיתוך עם האלכסונים שווה למחצית ההפרש בין הבסיסים: (a − b) ÷ 2.

אם הבסיסים הם 14 ו־6, החלק הזה יהיה (14 − 6) ÷ 2 = 4. זו שאלה שמופיעה בבגרות ברמה של 4 ו־5 יחידות.

טעויות נפוצות

• לחבר את הבסיסים בלי לחלק ב־2.
• לחסר במקום לפתור משוואה כשמחפשים בסיס חסר.
• לבלבל בין קטע אמצעים בטרפז לקטע אמצעים במשולש. במשולש הוא מחצית הצלע השלישית, לא ממוצע.
• להניח שקטע האמצעים חוצה את הטרפז לשני שטחים שווים. הוא לא.

תרגול עם פתרונות

1. בסיסים 8 ו־20. קטע אמצעים?

   (8 + 20) ÷ 2 = 14.

2. קטע אמצעים 15, בסיס אחד 22. הבסיס השני?

   30 = 22 + b, ולכן b = 8.

3. קטע אמצעים 12, גובה 5. השטח?

   12 × 5 = 60.