שטח טרפז

מה זה טרפז ואיך מזהים את הבסיסים

טרפז הוא מרובע שיש בו זוג אחד של צלעות מקבילות. הצלעות המקבילות הן הבסיסים, והשתיים האחרות הן השוקיים. הבסיסים לא חייבים להיות למטה ולמעלה בשרטוט: מחפשים את הזוג המקביל, לא את הצלע התחתונה. הגובה ניצב לשני הבסיסים, ולכן הוא קצר מהשוק, חוץ מבטרפז ישר זווית, שבו שוק אחת היא הגובה.

למה הנוסחה עובדת

אלכסון מחלק את הטרפז לשני משולשים עם אותו גובה h: לאחד בסיס a ולשני בסיס b. השטחים שלהם a · h / 2 ו-b · h / 2, ויחד (a + b) · h / 2. אפשר גם לחשוב על זה כמו מלבן שהרוחב שלו הוא ממוצע הבסיסים. הממוצע הזה הוא בדיוק אורך הקטע אמצעים בטרפז, ולכן השטח הוא גם קטע האמצעים כפול הגובה.

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: הנוסחה ישירות

בטרפז הבסיסים 8 ס"מ ו-12 ס"מ, והגובה 5 ס"מ. מה השטח?

1. סכום הבסיסים

   8 + 12 = 20

2. כפול הגובה

   20 · 5 = 100

3. חלקי 2

   50 סמ"ר. יחידות השטח הן יחידות אורך בריבוע.

דוגמה 2: גובה חסר

שטח טרפז 60 סמ"ר, והבסיסים 7 ו-13. מה הגובה?

1. מציבים

   60 = (7 + 13) · h / 2

2. מפשטים

   60 = 10h

3. תשובה

   h = 6 ס"מ.

דוגמה 3: בסיס חסר

שטח טרפז 45, הגובה 5 ובסיס אחד 6. מה אורך הבסיס השני?

1. מציבים

   45 = (6 + b) · 5 / 2

2. כופלים ב-2 ומחלקים ב-5

   90 / 5 = 18 = 6 + b

3. תשובה

   b = 12

דוגמה 4: טרפז שווה שוקיים

בטרפז שווה שוקיים הבסיסים 10 ו-16, וכל שוק 5. מה השטח?

1. מורידים גבהים

   שני הגבהים מהבסיס הקטן חותכים מהבסיס הגדול שני קטעים שווים בצדדים.

2. אורך כל קטע צדדי

   (16 - 10) / 2 = 3

3. גובה במשפט פיתגורס

   h² = 5² - 3² = 16, ולכן h = 4

4. שטח

   (10 + 16) · 4 / 2 = 52

דוגמה 5: טרפז ישר זווית

בטרפז ישר זווית הבסיסים 4 ו-9, והשוק המשופעת 13. מה השטח?

1. השוק הישרה היא הגובה

   מורידים גובה מקצה הבסיס הקטן, ונוצר משולש ישר זווית.

2. הניצב האופקי

   9 - 4 = 5

3. הגובה

   h² = 13² - 5² = 144, ולכן h = 12

4. שטח

   (4 + 9) · 12 / 2 = 78

דוגמה 6: לפי קטע אמצעים

בטרפז אורך קטע האמצעים 9 והגובה 4. מה השטח?

1. קטע האמצעים הוא ממוצע הבסיסים

   (a + b) / 2 = 9

2. כופלים בגובה

   9 · 4 = 36

3. שימו לב

   לא צריך לדעת כל בסיס בנפרד.

דוגמה 7: בעיה מילולית

גינה בצורת טרפז: הצלעות המקבילות 20 ו-30 מטר, והמרחק ביניהן 12 מטר. מרבד דשא עולה 25 ₪ למ"ר. כמה יעלה לרפד את כל הגינה?

1. שטח

   (20 + 30) · 12 / 2 = 300 מ"ר.

2. מחיר

   300 · 25 = 7500 ₪.

איך זוכרים את הנוסחה

חושבים על ממוצע: מחברים את שני הבסיסים ומחלקים ב-2, וזה הרוחב הממוצע של הטרפז. כופלים את הרוחב הממוצע בגובה, בדיוק כמו במלבן. מי שזוכר את הרעיון לא צריך לשנן את הנוסחה, וגם לא ישכח לחלק ב-2.

סוגי טרפזים

• טרפז שווה שוקיים: השוקיים שוות, זוויות הבסיס שוות, והאלכסונים שווים.
• טרפז ישר זווית: אחת השוקיים ניצבת לבסיסים, ולכן היא הגובה.
• טרפז כללי: בלי תכונה נוספת. הנוסחה לשטח זהה בכל הסוגים.

כשנתונה זווית

אם נתונים שוק וזווית בסיס, הגובה הוא השוק כפול הסינוס של הזווית: h = c · sin α. בטרפז עם שוק 6 וזווית של 30 מעלות, h = 6 · 0.5 = 3. ראו סינוס וקוסינוס, ועל מציאת גובה במשולש ישר זווית: משפט פיתגורס.

טעויות נפוצות

• מציבים את השוק במקום הגובה. הגובה ניצב לבסיסים.
• שוכחים לחלק ב-2. בלי החלוקה מקבלים שטח כפול.
• בוחרים בסיסים לא נכונים: הבסיסים הם הזוג המקביל, לא הצלע התחתונה בשרטוט.
• בטרפז שווה שוקיים לא מחלקים ב-2 את הפרש הבסיסים כשמחשבים את הקטע הצדדי.
• יחידות: השטח בסמ"ר או במ"ר, לא בס"מ.

להשוואה: שטח מקבילית (בסיס כפול גובה) ושטח משולש (בסיס כפול גובה חלקי 2). צריכים עזרה בגיאומטריה? מורה פרטי למתמטיקה.