מה זה חזקות ושורשים

מה זו חזקה ומה זה שורש

הבסיס הוא המספר שכופלים, המעריך כמה פעמים. 5⁴ זה חמש כפול עצמה ארבע פעמים, לא 5×4. הטעות הזו נפוצה בכיתה ז׳. חזקה 1 מחזירה את הבסיס, חזקה 0 מוגדרת כ־1 לכל בסיס שונה מאפס: 7⁰=1. מעריך שלילי הופך לשבר: 2⁻³=1/2³=1/8.

שורש ריבועי מחפש מספר שריבועו נותן את המקור. √16=4 כי 4×4=16. במספרים ממשיים אין שורש ריבועי למספר שלילי. שורש שלישי כן: ∛(−8)=−2. שורש הוא חזקה עם מעריך שבר: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3).

דוגמה: פישוט 2³ · 2⁵

1. אותו בסיס - מחברים מעריכים

   2³·2⁵ = 2⁸.

2. מחשבים אם צריך

   2⁸=256. בבגרות לעיתים משאירים 2⁸.

3. בדיקה ארוכה

   8×32=256. החוק חסך כתיבה.

חילוק, חזקה בחזקה ומעריך שלילי

חילוק באותו בסיס: מחסרים מעריכים. 5⁷/5³=5⁴. אם המעריך למטה גדול יותר יוצא מעריך שלילי או שבר: 3²/3⁵=3⁻³=1/27. אל תחלקו את הבסיסים - רק המעריכים משתנים כשהבסיס זהה.

חזקה בחזקה: מכפילים מעריכים. (x²)³=x⁶, לא x⁵. סוגריים חשובים: −3² הוא מינוס תשע, (−3)² הוא תשע. בבגרות זו נקודה שאבודה שוב ושוב. (2x³)²=4x⁶ - גם המקדם עולה בחזקה.

דוגמה: √50 פישוט

1. מפרקים לגורמים

   50=25×2, ו־25 ריבוע מלא.

2. מוציאים מהשורש

   √50=√(25×2)=5√2.

3. לא מחשבים עשרוני

   במבחן בלי מחשבון 5√2 היא הצורה הסופית.

שורש מכפלה ומנה

√(ab)=√a·√b כש־a,b לא שליליים. √(a/b)=√a/√b. אי אפשר לפצל שורש של סכום: √(a+b) אינו √a+√b. √9+√16=3+4=7, אבל √(9+16)=√25=5. זו מלכודת קבועה.

כפל שורשים: √8·√2=√16=4. אפשר גם √8=2√2 ואז 2√2·√2=2·2=4. צמצום שורשים במכנה: 1/√2 כופלים בשורש 2 ומקבלים √2/2 - רציונליזציה.

חיבור שורשים ואי אפשר

אפשר לחבר רק שורשים דומים, כמו איברים דומים באלגברה. 3√2+5√2=8√2. 3√2+5√3 לא מתחבר. √12+√3=2√3+√3=3√3 אחרי פישוט √12=2√3.

במשוואות: אם √x=4 אז x=16 אחרי העלאה בריבוע. חייבים לבדוק תחום: שורש ריבועי מוגדר לאי־שלילי, ואחרי העלאה בריבוע עלולים לקבל פתרון זר.

טעויות נפוצות

• לחשוב ש־x²·x³=x⁶ במקום x⁵ - בכפל מחברים מעריכים.
• √(a+b)=√a+√b - שגוי תמיד כמעט.
• −3²=9 במקום −9. החזקה לפני המינוס אם אין סוגריים.
• לשכוח שמעריך 0 נותן 1 (לא 0).
• להוציא שורש ממספר שלילי בממשיים.

קישור למשוואה ריבועית

נוסחת השורשים דורשת √Δ. אם הדלתא 12 מפשטים √12=2√3 ומשאירים כך בשורשים. בלי חוקי שורשים התשובה נראית מלוכלכת והבוחן עלול להוריד על צורה.

בגיאומטריה משפט פיתגורס מוציא שורש מ־a²+b². אם a=3, b=6 אז c=√45=3√5. אותם חוקים בדיוק.