נוסחאות הכפל המקוצר
פורסם עודכן איך אנחנו כותבים ובודקים מדריכים
נוסחאות הכפל המקוצר הן שלוש זהויות: ריבוע סכום (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, ריבוע הפרש (a - b)2 = a2 - 2ab + b2, והפרש ריבועים (a + b)(a - b) = a2 - b2. משתמשים בהן כדי לפתוח סוגריים בשורה אחת, ובכיוון ההפוך כדי לפרק ביטוי לגורמים.
למה צריך אותן
כל מכפלה של סוגריים אפשר לפתוח בשיטת 'כל איבר עם כל איבר'. שלושת המקרים האלה חוזרים כל כך הרבה, שכדאי לזהות אותם מיד ולכתוב את התוצאה בשורה אחת. החשוב עוד יותר הוא הכיוון ההפוך: ביטוי שנראה כמו אגף ימין של נוסחה מתכווץ לסוגריים, וזה פירוק לגורמים.
ריבוע סכום וריבוע הפרש
(a + b)2 הוא (a + b)(a + b). פותחים ומקבלים a2 + ab + ba + b2, ושני האיברים האמצעיים מתאחדים ל-2ab. בשרטוט רואים את זה כשטח: ריבוע בצלע a + b מתחלק לריבוע a2, לריבוע b2 ולשני מלבנים של ab. בריבוע הפרש רק האיבר האמצעי מקבל מינוס. האיבר האחרון, b2, תמיד חיובי.
הפרש ריבועים
כשכופלים סכום בהפרש של אותם שני איברים, האמצעיים מתבטלים: (x + 4)(x - 4) = x2 - 16. בכיוון ההפוך זה הפירוק הכי מהיר שיש: x2 - 49 = (x + 7)(x - 7). שימו לב: לסכום ריבועים, x2 + 49, אין פירוק כזה.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1: ריבוע סכום עם מקדם
פתחו: (3x + 2)2
- מזהים
a = 3x, b = 2
- ריבוע ראשון
(3x)2 = 9x2. המקדם עולה בחזקה גם הוא.
- פעמיים המכפלה
2 · 3x · 2 = 12x
- ריבוע שני ותשובה
9x2 + 12x + 4
דוגמה 2: הפרש ריבועים
פתחו: (2x + 5)(2x - 5)
- מזהים סכום כפול הפרש של אותם איברים
a = 2x, b = 5
- כותבים ריבוע פחות ריבוע
(2x)2 - 52
- תשובה
4x2 - 25. אין איבר אמצעי.
דוגמה 3: הכיוון ההפוך
פרקו לגורמים: x2 - 10x + 25
- בודקים את הקצוות
x2 הוא ריבוע של x, ו-25 ריבוע של 5.
- בודקים את האמצע
2 · x · 5 = 10x, והסימן מינוס: זה ריבוע הפרש.
- תשובה
(x - 5)2
דוגמה 4: חשבון בראש
חשבו בלי מחשבון: 49 × 51
- כותבים כסכום כפול הפרש
(50 - 1)(50 + 1)
- הפרש ריבועים
502 - 12 = 2500 - 1
- תשובה
2,499.
דוגמה 5: שתי נוסחאות בתרגיל אחד
פשטו: (x + 3)2 - (x - 3)2
- פותחים כל ריבוע
(x2 + 6x + 9) - (x2 - 6x + 9)
- מינוס לפני סוגריים הופך כל סימן
x2 + 6x + 9 - x2 + 6x - 9
- מכנסים
12x
- דרך קצרה
זה גם הפרש ריבועים: [(x+3) + (x-3)] · [(x+3) - (x-3)] = 2x · 6 = 12x.
איך בודקים את עצמכם
מציבים מספר קטן במקום x בשני האגפים. אם (x + 5)2 ו-x2 + 10x + 25 נותנים אותו דבר עבור x = 1 (36 ו-36), הפתיחה כמעט בוודאות נכונה. בדיקה כזו לוקחת עשר שניות במבחן.
כפל מקוצר בשלישית
- (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
- (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
- סכום קובייות: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
- הפרש קובייות: a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
המקדמים 1, 3, 3, 1 חוזרים בשתי הראשונות. בהפרש, הסימנים מתחלפים: פלוס, מינוס, פלוס, מינוס.
טעויות נפוצות
- (a + b)2 = a2 + b2: הטעות הנפוצה ביותר באלגברה. בדיקה: (2 + 3)2 = 25, אבל 4 + 9 = 13.
- שוכחים את ה-2 באיבר האמצעי: (x + 5)2 = x2 + 5x + 25 שגוי. נכון: 10x.
- לא מעלים את המקדם בריבוע: (3x)2 הוא 9x2, לא 3x2.
- מינוס באיבר האחרון: (x - 7)2 נגמר ב-+49.
- מנסים לפרק סכום ריבועים כמו x2 + 9. אין פירוק במספרים ממשיים.
הנוסחאות חוזרות בנוסחת השורשים ובטרינום. הכנה לבגרות? מורה פרטי למתמטיקה.
שאלות נפוצות
- מה זה נוסחאות הכפל המקוצר?
- שלוש זהויות: (a+b)² = a²+2ab+b², (a-b)² = a²-2ab+b², ו-(a+b)(a-b) = a²-b².
- למה משתמשים בכפל מקוצר?
- כדי לפתוח סוגריים מהר, ובעיקר בכיוון ההפוך: לפרק ביטוי לגורמים.
- מה זה הפרש ריבועים?
- a² - b², שמתפרק ל-(a+b)(a-b). למשל x² - 16 = (x+4)(x-4).
- מה הנוסחה של כפל מקוצר בשלישית?
- (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, ו-(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
- למה (a+b)² לא שווה a²+b²?
- כי בפתיחת הסוגריים יש גם שני איברים של ab, שמתאחדים ל-2ab. בדיקה עם מספרים: 25 לעומת 13.
- באיזו כיתה לומדים כפל מקוצר?
- כפל מקוצר לומדים בדרך כלל בכיתה ט, לפני פירוק לגורמים ומשוואות ריבועיות.
רוצים לראות את מורה-מורה בגוגל?
הוסיפו אותנו כמקור מועדף - והתוכן שלנו יופיע גבוה יותר בחיפושים שלכם.