איך פותרים מערכת משוואות
פורסם עודכן איך אנחנו כותבים ובודקים מדריכים
מערכת משוואות לינאריות מחפשת זוג (x,y) שמקיים שתי משוואות יחד - נקודת החיתוך של שני ישרים. שתי שיטות עיקריות: הצבה - מבודדים משתנה אחד ומציבים בשנייה; הצמדה - מכפילים כדי לבטל משתנה בחיבור או חיסור. אם הישרים מקבילים אין פתרון; אם הם אותו ישר יש אינסוף פתרונות.
מתי משתמשים במערכת משוואות
כל פעם שיש שני נעלמים ושני תנאים. בעיות מילה: כרטיס למבוגר ולילד, תערובת קפה, מהירות וזמן, גילאים. בגיאומטריה אנליטית: חיתוך שני ישרים. בפיזיקה: שקול כוחות בשני צירים לפעמים נראה כמו מערכת.
לפני שבוחרים שיטה מסתכלים על המשוואות. אם אחת מהן כבר y=... או x=... - הצבה. אם המקדמים של x או y הפוכים או שווים - הצמדה. שתי השיטות נכונות תמיד; בוחרים לפי נוחות.
שיטת הצבה: y=2x+1 וגם y=x+4
- משווים
כי שני הביטויים שווים ל־y: 2x+1 = x+4.
- פותרים לינארית
2x−x = 4−1 → x=3.
- מציבים
y=3+4=7. הפתרון הוא הנקודה (3,7).
- בודקים בשתי המשוואות
2·3+1=7, וגם 3+4=7. שתיהן מתקיימות.
שיטת הצמדה (חיסור/חיבור)
2x+y=7 ו־x−y=2. אם מחברים, ה־y מתבטל: 3x=9, x=3. מציבים בשנייה: 3−y=2, y=1. פתרון (3,1). הצמדה חוסכת אלגברה כשהמקדמים כבר מוכנים לביטול.
אם המקדמים לא זהים, מכפילים קודם. 2x+3y=12 ו־x+y=5. כופלים את השנייה ב־3: 3x+3y=15. מחסרים מהראשונה אחרי יישור, או מבודדים מהשנייה y=5−x ומציבים - כאן הצבה אפילו קצרה יותר.
דוגמה: 3x+2y=16 ו־x−2y=0
- מזהים ביטול
המקדמים של y הם 2 ו־−2. חיבור מבטל את y.
- מחברים
4x=16 → x=4.
- מציבים בשנייה
4−2y=0 → 2y=4 → y=2.
- בודקים בראשונה
3·4+2·2=12+4=16. ✓ הפתרון (4,2).
אין פתרון או אינסוף
x+y=3 ו־2x+2y=8. השנייה היא כפולה של הראשונה אבל 6≠8. ישרים מקבילים - אין נקודת חיתוך, אין פתרון. אם השנייה הייתה 2x+2y=6, זו אותה משוואה פעמיים - אינסוף פתרונות (כל הנקודות על הישר).
במבחן כותבים במפורש אין פתרון או אינסוף פתרונות. אל תמציאו זוג מספרים. אפשר לבדוק יחס מקדמים: אם a1/a2=b1/b2 אבל לא שווה ל־c1/c2 - מקבילים.
בעיית מילה: כרטיסים
שלושה כרטיסי מבוגר ושני ילד עולים 170 ₪. מבוגר אחד ושני ילד 110 ₪. מסמנים m ו־c: 3m+2c=170, m+2c=110. מחסרים: 2m=60, m=30. מציבים: 30+2c=110, 2c=80, c=40. מבוגר 30 ₪, ילד 40 ₪ - לפעמים הילד יקר יותר בגלל הנתונים; לא מתקנים לפי תחושת בטן, בודקים במשוואות.
תרגום: סכום → חיבור, הפרש → חיסור, פי שניים → כפל. אחרי שיש שתי משוואות חוזרים לשיטה הרגילה. רוב הטעויות הן בתרגום, לא בהצבה.
טעויות נפוצות
- לבדוק רק באחת המשוואות. חייבים שתיהן.
- לשנות סימן בהצמדה רק בחלק מהאיברים.
- להציב באותה משוואה שממנה בידדו - לא נותן מידע חדש.
- לשכוח לכפול את כל האיברים כולל האגף הימני.
- לכתוב פתרון כמספר אחד במקום זוג (x,y).
שאלות נפוצות
- איך פותרים מערכת משוואות?
- או בהצבה - מבודדים משתנה ומציבים בשנייה - או בהצמדה - מכפילים ומחסירים כדי לבטל משתנה. בודקים את הזוג בשתי המשוואות.
- מהי מערכת משוואות?
- שתי משוואות (או יותר) עם שני נעלמים. מחפשים זוג (x,y) שמקיים את כולן יחד - נקודת החיתוך של הישרים.
- מתי משתמשים בהצבה?
- כשקל לבודד משתנה אחד, למשל y=2x+1 או כשאחד המקדמים הוא 1.
- מתי משתמשים בהצמדה?
- כשמקדמים שווים או הפוכים ואפשר לבטל x או y בחיבור או חיסור אחרי כפל מתאים.
- מה עושים אם אין פתרון?
- אם מתקבלת סתירה כמו 0=5 הישרים מקבילים. כותבים אין פתרון.
- איך בודקים את התשובה?
- מציבים את x ואת y בשתי המשוואות המקוריות. שתיהן חייבות להתקיים.
רוצים לראות את מורה-מורה בגוגל?
הוסיפו אותנו כמקור מועדף - והתוכן שלנו יופיע גבוה יותר בחיפושים שלכם.