מערכת משוואות בשני נעלמים

מה זו מערכת משוואות

למשוואה אחת עם שני נעלמים, כמו x + y = 10, יש אינסוף פתרונות: (3, 7), (4, 6) ועוד. משוואה שנייה, כמו x - y = 2, משאירה רק זוג אחד שמתאים לשתיהן: (6, 4). כל משוואה כזו היא משוואת ישר (ראו שיפוע ומשוואת ישר), ולכן הפתרון הוא הנקודה שבה שני הישרים נפגשים. לומדים את זה בדרך כלל בכיתה ח.

שיטת ההצבה

• 1. מבודדים נעלם באחת המשוואות, למשל y = ....
• 2. מציבים את הביטוי במשוואה השנייה. נשארת משוואה עם נעלם אחד.
• 3. פותרים אותה, ומציבים את התוצאה בחזרה כדי למצוא את הנעלם השני.
• 4. בודקים את הזוג בשתי המשוואות המקוריות.

שיטת השוואת מקדמים

• 1. כופלים משוואה אחת (או שתיהן) כך שלאחד הנעלמים יהיה אותו מקדם, או מקדם נגדי.
• 2. מקדמים שווים: מחסרים את המשוואות. מקדמים נגדיים: מחברים. הנעלם נעלם.
• 3. פותרים, מציבים חזרה ובודקים בשתי המשוואות.

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: שיטת ההצבה

פתרו: y = 2x - 1   ו-   3x + y = 9

1. y כבר מבודד, מציבים בשנייה

   3x + (2x - 1) = 9

2. פותרים

   5x - 1 = 9, 5x = 10, x = 2

3. מציבים חזרה

   y = 2 · 2 - 1 = 3

4. בודקים

   3 · 2 + 3 = 9. הפתרון: (2, 3)

דוגמה 2: השוואת מקדמים עם כפל

פתרו: 2x + 3y = 12   ו-   5x - 2y = 11

1. מכינים מקדמים נגדיים ל-y

   כופלים את הראשונה ב-2 ואת השנייה ב-3: 4x + 6y = 24, 15x - 6y = 33

2. מחברים

   19x = 57, ולכן x = 3

3. מציבים בראשונה

   6 + 3y = 12, y = 2

4. בודקים בשנייה

   15 - 4 = 11. הפתרון: (3, 2)

דוגמה 3: בעיה מילולית

2 כרטיסים למבוגר ו-3 כרטיסים לילד עלו 160 ₪. כרטיס מבוגר וכרטיס ילד עולים יחד 65 ₪. כמה עולה כל כרטיס?

1. מסמנים נעלמים

   x מחיר כרטיס מבוגר, y מחיר כרטיס ילד.

2. מתרגמים למשוואות

   2x + 3y = 160   ו-   x + y = 65

3. מבודדים מהשנייה ומציבים

   x = 65 - y, ואז 130 - 2y + 3y = 160, y = 30

4. מוצאים את השני ובודקים

   x = 35. 70 + 90 = 160. מבוגר 35 ₪, ילד 30 ₪.

כשאין פתרון או שיש אינסוף

x + y = 3 ו-2x + 2y = 8: אם מחלקים את השנייה ב-2 מקבלים x + y = 4, וזה סותר את הראשונה. הישרים מקבילים ולא נפגשים, ולכן אין פתרון. אילו השנייה הייתה 2x + 2y = 6, זו אותה משוואה פעמיים: אותו ישר, ואינסוף פתרונות. בשני המקרים כותבים את זה במפורש, ולא ממציאים זוג מספרים.

פתרון גרפי

אפשר גם לשרטט: כותבים כל משוואה בצורה y = mx + b, משרטטים את שני הישרים ומחפשים את נקודת החיתוך. בדוגמה 1 הישרים y = 2x - 1 ו-y = -3x + 9 נפגשים ב-(2, 3). השרטוט טוב להבנה ולבדיקה, אבל כשהפתרון לא שלם קשה לקרוא אותו מדויק, ולכן במבחן פותרים אלגברית.

משוואות עם שברים

כשיש שברים, כופלים כל משוואה במכנה המשותף שלה לפני שבוחרים שיטה. x/2 + y/3 = 4 כפול 6 הופכת ל-3x + 2y = 24, ומשם פותרים כרגיל. על מכנה משותף: חיבור וחיסור שברים.

איך מתרגמים בעיה מילולית

• קוראים ומסמנים מה לא ידוע. שני דברים לא ידועים, שני נעלמים.
• מחפשים שני משפטים שכל אחד מהם הוא משוואה: 'ביחד עלו', 'סכום', 'הפרש', 'פי 2'.
• בסוף עונים במילים, עם יחידות, ובודקים שהתשובה הגיונית.

טעויות נפוצות

• מציבים באותה משוואה שממנה בידדו: יוצא 0 = 0, בלי מידע חדש.
• כופלים רק חלק מהמשוואה: בכפל, כל האיברים בשני האגפים מוכפלים.
• טעות סימן בחיסור: כשמחסרים משוואה, כל האיברים שלה מחליפים סימן. -(-6y) = +6y.
• בודקים רק במשוואה אחת: הזוג צריך לקיים את שתיהן.
• עונים במספר אחד: הפתרון הוא זוג, (x, y).

כל שלב בפתרון הוא משוואה לינארית רגילה. מתקשים בבעיות מילוליות? מורה פרטי למתמטיקה יעבור איתכם על התרגום.