שיפוע ומשוואת ישר

מה השיפוע אומר

• שיפוע חיובי: הישר עולה משמאל לימין. m = 2: על כל צעד ימינה עולים 2.
• שיפוע שלילי: הישר יורד.
• שיפוע 0: ישר אופקי, y = c.
• ישר אנכי, x = c: אין לו שיפוע, ולכן אי אפשר לכתוב אותו בצורה y = mx + b.

b הוא הנקודה (0, b): ב-y = 2x - 3 הישר חותך את ציר y ב-(0, -3).

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: שיפוע משתי נקודות

מה השיפוע של הישר שעובר דרך (1, 2) ו-(4, 8)?

1. הפרש ה-y

   8 - 2 = 6

2. הפרש ה-x, באותו סדר

   4 - 1 = 3

3. מחלקים

   m = 6 / 3 = 2. הישר עולה.

דוגמה 2: שיפוע שלילי

מה השיפוע בין (0, 5) ל-(4, 1)?

1. מציבים

   m = (1 - 5) / (4 - 0) = -4 / 4

2. תשובה

   m = -1. הישר יורד, וכל צעד ימינה מוריד אותו ב-1.

3. בונוס

   הנקודה (0, 5) על ציר y, ולכן b = 5 והמשוואה y = -x + 5.

דוגמה 3: משוואת ישר לפי 2 נקודות

מצאו את משוואת הישר שעובר דרך (1, 4) ו-(3, 8).

1. שיפוע

   m = (8 - 4) / (3 - 1) = 2

2. מציבים נקודה

   y - 4 = 2(x - 1)

3. מסדרים

   y = 2x + 2

4. בודקים בנקודה השנייה

   2 · 3 + 2 = 8. נכון.

דוגמה 4: ישר מאונך דרך נקודה

מצאו ישר שמאונך ל-y = 2x + 1 ועובר דרך (2, 1).

1. השיפוע המאונך

   מכפלת השיפועים -1: 2 · m = -1, ולכן m = -1/2.

2. מציבים

   y - 1 = -1/2 (x - 2)

3. מסדרים

   y = -x/2 + 2

דוגמה 5: חיתוך עם הצירים

היכן y = 2x - 6 חותך את הצירים?

1. ציר y: מציבים x = 0

   (0, -6)

2. ציר x: מציבים y = 0

   0 = 2x - 6, x = 3, הנקודה (3, 0)

דוגמה 6: מצורה כללית

מה השיפוע של 2x + 3y = 6?

1. מבודדים y

   3y = -2x + 6

2. מחלקים ב-3

   y = -2/3 x + 2

3. קוראים

   m = -2/3, b = 2.

דוגמה 7: בעיה מילולית

נסיעה במונית עולה 10 ₪ פתיחה ועוד 4 ₪ לכל קילומטר. כתבו את המחיר כמשוואת ישר. כמה עולה נסיעה של 12 ק"מ?

1. מזהים

   המחיר y תלוי במרחק x. המחיר לקילומטר הוא קצב השינוי, כלומר השיפוע: m = 4.

2. החיתוך עם ציר y

   בלי לנסוע בכלל (x = 0) משלמים 10, ולכן b = 10.

3. משוואה

   y = 4x + 10

4. מציבים

   y = 4 · 12 + 10 = 58 ₪.

דוגמה 8: ישר מקביל דרך נקודה

מצאו ישר שמקביל ל-y = 3x - 4 ועובר דרך (1, 5).

1. אותו שיפוע

   ישר מקביל: m = 3.

2. מציבים

   y - 5 = 3(x - 1)

3. מסדרים

   y = 3x + 2. הקבוע השתנה, השיפוע לא.

האם שלוש נקודות על ישר אחד

מחשבים את השיפוע בין הנקודה הראשונה לשנייה, ובין השנייה לשלישית. אם השיפועים שווים, הנקודות על אותו ישר. (0, 1), (2, 5) ו-(3, 7): השיפועים 4 / 2 = 2 ו-2 / 1 = 2, ולכן כן. זו גם דרך מהירה לבדוק אם שרטוט נכון.

שיפוע של משיק

לעקומה אין שיפוע אחד, אבל לכל נקודה עליה יש משיק, והשיפוע שלו הוא הנגזרת בנקודה. ל-f(x) = x² הנגזרת 2x, ולכן בנקודה (3, 9) שיפוע המשיק 6, ומשוואת המשיק y - 9 = 6(x - 3), כלומר y = 6x - 9. כל מה שלמדתם כאן על משוואת ישר עובד גם על משיקים. ראו נגזרות.

שיפוע הוא קצב שינוי

מחוץ למערכת הצירים, השיפוע הוא תמיד 'כמה משתנה דבר אחד כשהשני גדל ב-1': מחיר לקילומטר, מהירות (מטרים לשנייה), חיסכון לחודש. לכן בבעיות מילוליות מחפשים קודם את הקצב הקבוע, וזה השיפוע, ואת ערך ההתחלה, וזה b. אם הקצב לא קבוע, הקשר אינו קו ישר, ומשוואת ישר לא מתאימה.

שיפוע וזווית

השיפוע שווה לטנגנס של הזווית שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר x: m = tan α. ישר עם שיפוע 1 עולה בזווית של 45 מעלות, ושיפוע של √3 מתאים לזווית של 60 מעלות. ככל שהשיפוע גדול יותר, הישר תלול יותר.

שלוש צורות של משוואת ישר

ישרים מקבילים ומאונכים

ישרים מקבילים הם בעלי אותו שיפוע, כמו y = 2x + 1 ו-y = 2x - 5. ישרים מאונכים הם כאלה שמכפלת השיפועים שלהם -1: לשיפוע 2 המאונך הוא -1/2, ולשיפוע -3 המאונך 1/3. נקודת החיתוך של שני ישרים לא מקבילים נמצאת בעזרת מערכת משוואות, והמרחק בין שתי נקודות בעזרת נוסחת דיסטנס.

קריאה מגרף ובדיקת נקודה

מגרף: b הוא החיתוך עם ציר y, ואת m מוצאים מכמה משבצות עולים חלקי כמה זזים ימינה בין שתי נקודות ברורות. כדי לבדוק אם נקודה על הישר מציבים אותה: (4, 7) על y = 2x - 1, כי 2 · 4 - 1 = 7. בחדו"א השיפוע של משיק הוא הנגזרת בנקודה: ראו נגזרות.

טעויות נפוצות

• שיפוע הפוך: הפרש x חלקי הפרש y. השיפוע הוא הפרש y חלקי הפרש x.
• סדר חיסור לא עקבי: אם במונה מתחילים מהנקודה השנייה, גם במכנה.
• שוכחים את המינוס בשיפוע מאונך: לשיפוע 2 המאונך -1/2, לא 1/2.
• טעות סימן בפתיחת סוגריים ב-y - y₁ = m(x - x₁).
• מבלבלים בין x = c ל-y = c: y = 3 אופקי, x = 3 אנכי.

מתקשים בגיאומטריה אנליטית? מורה פרטי למתמטיקה.