איך פותרים סדרה חשבונית

איך מזהים ומוצאים d

חשבו את a2−a1, a3−a2. אם זהה — חשבונית. בסדרה 5, 5, 5 ההפרש 0 והיא חשבונית חוקית. בסדרה 2, 4, 8 ההפרשים 2 ו־4 — לא חשבונית.

אם נתונים שני איברים לא עוקבים: a5=20, a2=8. ההפרש בין מקומות 3 צעדים: 20−8=12, d=12/3=4. אז a1=a2−d=4. אל תחלקו בהפרש המקומות הלא נכון.

דוגמה: a1=5, d=3, האיבר ה־10 והסכום

1. איבר כללי

   a10=5+(10−1)·3=5+27=32.

2. סכום 10 איברים

   S10=10·(5+32)/2=10·18.5=185.

3. נוסחה חלופית

   Sn=n/2 · [2a1+(n−1)d]=5·[10+27]=5·37=185. אותה תוצאה.

מציאת n כשהאיבר נתון

האם 83 בסדרה 5,8,11,…? 83=5+(n−1)·3 → 78=3(n−1) → n−1=26, n=27. n חייב מספר טבעי. אם לא מתחלק — המספר לא בסדרה.

בעיית מילה: מושבים באולם 20 בשורה הראשונה, כל שורה 4 יותר. כמה בשורה 12? זו חשבונית a1=20, d=4, a12=20+11·4=64. סך המושבים ב־12 שורות הוא הסכום.

קשר לממוצע ולישר

הממוצע של איברי הסדרה הוא (a1+an)/2, לכן הסכום n כפול ממוצע. זו אותה נוסחה כמו ממוצע חשבוני. על גרף האיברים יושבים על ישר: an כפונקציה של n היא לינארית עם שיפוע d.

שלושה מספרים בתבנית חשבונית: 2x, x+8, 20. ההפרשים שווים: (x+8)−2x=20−(x+8) → 8−x=12−x? חכו: 20−(x+8)=12−x. ו־(x+8)−2x=8−x. 8−x=12−x נותן 8=12 — אין? נבדוק נתונים אחרים: אם האחרון 4x, אז אפשר לפתור. הרעיון: שני הפרשים שווים נותנים משוואה לינארית.

טעויות נפוצות

• לכתוב an=a1+nd במקום (n−1)d — אינדקס אחד מדי.
• לבלבל עם סדרה הנדסית (כפל במנה).
• בסכום לשכוח לחלק ב־2.
• להשתמש ב־n לא שלם כשמספר לא שייך לסדרה.
• לחיסור איברים לא עוקבים בלי לחלק במספר הצעדים.

שני איברים וסכום — מערכת

לפעמים נתונים S10 ו־a10. אז 10(a1+a10)/2=S10 נותן קשר בין a1 ל־a10, ו־a10=a1+9d נותן עוד קשר. זו מערכת משוואות בשני נעלמים a1 ו־d. חוזרים למדריך מערכת המשוואות.

תרגול: כתבו תמיד מה ידוע: a1, d, n, an, Sn. חמש אותיות, שתי נוסחאות. אם יש שלושה נעלמים צריך עוד נתון.