איך מחשבים ממוצע - פשוט ומשוקלל

ממוצע חשבוני

הממוצע הוא המספר שהיה יוצא אילו כל הערכים היו שווים. לכן סכום הערכים קבוע: ארבעה ציונים שהממוצע שלהם 85 מסתכמים תמיד ב-340. העובדה הזו היא המפתח לשאלות על ציון חסר.

ממוצע משוקלל

כשלכל ערך יש חשיבות אחרת, כל ערך נספר לפי המשקל שלו. בבגרות המשקל הוא מספר היחידות; בציון שנתי המשקל הוא האחוז של כל רכיב. כשהמשקלות באחוזים וסכומם 100, מספיק לכפול כל ציון באחוז שלו ולחבר.

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: ממוצע רגיל

מה הממוצע של 7, 9, 10 ו-6?

1. סכום

   7 + 9 + 10 + 6 = 32

2. מספר הערכים

   4

3. מחלקים

   32 : 4 = 8

דוגמה 2: ממוצע משוקלל לפי יחידות

מתמטיקה 5 יחידות, ציון 90; אנגלית 5 יחידות, ציון 80; היסטוריה 2 יחידות, ציון 70. מה הממוצע המשוקלל?

1. כל ציון כפול היחידות

   90 · 5 = 450, 80 · 5 = 400, 70 · 2 = 140

2. סכום

   450 + 400 + 140 = 990

3. סכום המשקלות

   5 + 5 + 2 = 12

4. מחלקים

   990 : 12 = 82.5. ממוצע רגיל היה נותן 80, כי הוא נותן להיסטוריה אותו משקל.

דוגמה 3: משקלות באחוזים

העבודה שווה 30% מהציון והמבחן 70%. בעבודה קיבלתם 90 ובמבחן 80. מה הציון הסופי?

1. עבודה

   90 · 0.3 = 27

2. מבחן

   80 · 0.7 = 56

3. מחברים

   83. סכום המשקלות 100%, ולכן אין צורך לחלק.

דוגמה 4: ציון חסר

בשלושה מבחנים קיבלתם 80, 90 ו-82. כמה צריך במבחן הרביעי כדי שהממוצע יהיה 85?

1. סכום שצריך

   85 · 4 = 340

2. סכום שיש

   80 + 90 + 82 = 252

3. ההפרש

   340 - 252 = 88. צריך 88.

דוגמה 5: מהירות ממוצעת

נסעתם 60 ק"מ במהירות 60 קמ"ש וחזרתם את אותם 60 ק"מ ב-40 קמ"ש. מה המהירות הממוצעת?

1. זמנים

   הלוך שעה אחת, חזור 60 : 40 = 1.5 שעות.

2. דרך כוללת חלקי זמן כולל

   120 : 2.5 = 48

3. שימו לב

   48 קמ"ש, לא 50. במהירות הממוצע הוא לפי זמן, ובחזרה נסעתם יותר זמן.

דוגמה 6: ממוצע מטבלת שכיחויות

בכיתה 3 תלמידים קיבלו 70, 5 קיבלו 80 ו-2 קיבלו 90. מה ממוצע הכיתה?

1. כל ציון כפול מספר התלמידים

   70 · 3 = 210, 80 · 5 = 400, 90 · 2 = 180

2. סכום

   210 + 400 + 180 = 790

3. חלקי מספר התלמידים

   790 : 10 = 79. זה ממוצע משוקלל, כשהמשקל הוא מספר התלמידים.

איך הממוצע משתנה

• מוסיפים ערך גבוה מהממוצע: הממוצע עולה. נמוך ממנו: יורד. שווה לו: לא משתנה.
• מוסיפים אותו מספר לכל הערכים: הממוצע עולה באותו מספר. פקטור של 5 נקודות לכולם מעלה את הממוצע ב-5.
• כופלים את כל הערכים במספר: גם הממוצע מוכפל בו.

ממוצע באקסל ובמחשבון

באקסל או ב-Google Sheets, ממוצע רגיל הוא =AVERAGE(A1:A10). לממוצע משוקלל, כשהציונים בעמודה A והמשקלות בעמודה B: =SUMPRODUCT(A1:A3,B1:B3)/SUM(B1:B3). במחשבון מחשבים את הסכום, או את סכום המכפלות, ומחלקים פעם אחת בסוף, כדי לא לעגל באמצע.

ממוצע בגרות

ממוצע הבגרות הוא ממוצע משוקלל לפי מספר היחידות בכל מקצוע, כמו בדוגמה 2. מוסדות להשכלה גבוהה מחשבים לעתים ממוצע משלהם, למשל עם תוספת (בונוס) למקצועות ברמה של 4 ו-5 יחידות, והכללים משתנים ממוסד למוסד. לכן את הממוצע לצורך קבלה בודקים לפי הכללים של המוסד עצמו.

חציון ושכיח

החציון הוא הערך האמצעי אחרי שממיינים את הנתונים, והשכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. בנתונים 1, 2, 2, 3 ו-100 הממוצע 21.6, אבל החציון 2, וגם השכיח 2. כשיש ערך קיצוני אחד, החציון מתאר את רוב הנתונים טוב יותר. במספר זוגי של ערכים, החציון הוא הממוצע של שני האמצעיים: ב-4, 6, 8, 10 החציון 7.

טעויות נפוצות

• ממוצע רגיל במקום משוקלל כשלמקצועות יש מספר יחידות שונה.
• מחלקים במספר המקצועות במקום בסכום היחידות בממוצע משוקלל.
• ממוצע של ממוצעים: שתי כיתות בגדלים שונים לא מתמצעות פשוט. צריך לשקלל לפי מספר התלמידים.
• ממוצע מהירויות: כשהזמנים שונים, הממוצע הוא דרך כוללת חלקי זמן כולל.
• שוכחים ערך: סופרים כמה ערכים יש לפני שמחלקים.

ממוצע קשור גם לחישוב אחוזים, לסדרה חשבונית (סכום סדרה הוא מספר האיברים כפול ממוצע הראשון והאחרון) ולהסתברות. צריכים עזרה במתמטיקה? מורה פרטי למתמטיקה.