איך פותרים משוואה לינארית

מהי משוואה לינארית

לינארית פירושו קו ישר: אם מציירים y=ax+b מקבלים ישר. המשוואה ax+b=0 שואלת איפה הישר חותך את ציר x. בחטיבה עובדים בלי גרף: מעבירים איברים ושומרים על שוויון. מה שעושים לאגף אחד חייבים לעשות גם לשני - זו אמת המידה היחידה.

לפני שמתחילים מסדרים: פותחים סוגריים, מכנסים איברים דומים, ומעבירים הכל לצורה ax+b=c. אם יש שברים, אפשר לכפול את כל המשוואה במכנה המשותף כדי לנקות שברים לפני הבידוד.

דוגמה: 3x + 5 = 14

1. מחסירים 5 משני האגפים

   3x = 9. העברת אגפים היא קיצור של אותה פעולה בשני הצדדים.

2. מחלקים ב־3

   x = 3. המקדם של x חייב להיות 1.

3. בודקים

   3·3+5=9+5=14. שני האגפים שווים - הפתרון נכון.

סוגריים ונעלם בשני האגפים

2(x−1)=8. קודם פותחים: 2x−2=8. מוסיפים 2: 2x=10. מחלקים: x=5. בדיקה: 2(5−1)=8. מי שמדלג על הסוגריים ומחלק רק את 8 ב־2 מקבל x−1=4 ואז x=5 - במקרה הזה עבד, אבל אם היה 2(x−1)+3=8 השיטה הקצרה נשברת.

כש־x בשני הצדדים מרכזים. 5x−2=2x+10. מחסרים 2x: 3x−2=10. מוסיפים 2: 3x=12. x=4. בדיקה: 5·4−2=18 וגם 2·4+10=18.

דוגמה: 4(x+3) − 2 = 3x + 10

1. פותחים סוגריים

   4x+12−2=3x+10 → 4x+10=3x+10.

2. מחסירים 3x

   x+10=10.

3. מחסירים 10

   x=0. אפס הוא פתרון לגיטימי.

4. בדיקה

   4(0+3)−2=12−2=10, ו־3·0+10=10. ✓

משוואה עם שברים

x/2 + 1 = 5. אפשר להעביר 1: x/2=4, ואז לכפול ב־2: x=8. דרך שנייה: לכפול את כל המשוואה ב־2 מההתחלה: x+2=10, x=8. כשיש כמה מכנים כופלים במ.כ.מ. ומנקים שברים בבת אחת.

(x+1)/3 = (x−2)/2. כופלים ב־6 (מ.כ.מ. של 2 ו־3): 2(x+1)=3(x−2) → 2x+2=3x−6 → 2+6=3x−2x → 8=x. בדיקה: 9/3=3 ו־6/2=3.

אין פתרון או אינסוף פתרונות

2x+4=2(x+2) נפתח ל־2x+4=2x+4. מחסרים 2x: 4=4. זו זהות - כל x מקיים. כותבים אינסוף פתרונות או כל המספרים הממשיים.

2x+4=2x+5 נותן 4=5 אחרי העברת x. זו סתירה - אין פתרון. בגרף אלה שני ישרים מקבילים שלא נפגשים. אל תכתבו x=0 כשאין פתרון.

טעויות נפוצות

• לשנות סימן רק באגף אחד כשמעבירים. העברה של +5 היא −5 בשני הצדדים למעשה באגף השני.
• לחלק רק בחלק מהאיברים: מ־2x+6=10 לא מחלקים רק את 2x ב־2 ומשאירים 6.
• לשכוח לפתוח סוגריים עם מינוס: −(x−3)= −x+3 ולא −x−3.
• לא לבדוק בהצבה. בדיקה לוקחת עשר שניות וחוסכת נקודות.
• לטפל ב־x כאילו הוא מספר בלי לבודד: 3x זה לא 3+x.

משוואות בבעיות מילה

גיל האב גדול פי שלושה מגיל הבן, וההפרש 28. מסמנים בן=x, אב=3x, אז 3x−x=28, 2x=28, x=14. הבן 14 והאב 42. הקושי הוא התרגום לעברית, לא האלגברה.

אם אחרי הבידוד מקבלים x בחזקה שנייה - זו כבר משוואה ריבועית, לא לינארית. עברו לנוסחת השורשים או לטרינום. לינארית נשארת רק כשאין x² ואין מכפלה של שני נעלמים.