פירוק לגורמים

למה מפרקים

מכפלה שווה לאפס רק אם אחד הגורמים אפס. זה הכלל שהופך פירוק לכלי הפתרון המרכזי של משוואות. ברגע שכתבתם (x + 3)(x − 5) = 0, אתם יודעים מיד שהפתרונות הם −3 ו־5.

מעבר לפתרון משוואות, פירוק משמש לצמצום שברים אלגבריים, למציאת תחום הגדרה, ולפישוט ביטויים לפני גזירה או אינטגרציה.

שיטה 1: גורם משותף

מחפשים מה משותף לכל האיברים — מספר, משתנה, או שניהם — ומוציאים אותו מחוץ לסוגריים. זו תמיד הבדיקה הראשונה.

1. 6x² + 9x

   משותף 3x, ולכן 3x(2x + 3)

2. 4a³b − 8a²b²

   משותף 4a²b, ולכן 4a²b(a − 2b)

3. 2x² − 18

   משותף 2, ולכן 2(x² − 9), וזה ממשיך ל־2(x + 3)(x − 3)

שיטה 2: נוסחאות הכפל המקוצר

שלוש הנוסחאות עובדות גם בכיוון ההפוך, וזה בדיוק פירוק.

• הפרש ריבועים: a² − b² = (a + b)(a − b). למשל x² − 25 = (x + 5)(x − 5).
• ריבוע סכום: a² + 2ab + b² = (a + b)². למשל x² + 6x + 9 = (x + 3)².
• ריבוע הפרש: a² − 2ab + b² = (a − b)². למשל x² − 10x + 25 = (x − 5)².

שיטה 3: פירוק טרינום

לביטוי מהצורה x² + bx + c מחפשים שני מספרים שסכומם b ומכפלתם c.

1. x² + 7x + 12

   מחפשים שני מספרים שסכומם 7 ומכפלתם 12: 3 ו־4. התוצאה: (x + 3)(x + 4).

2. x² − 2x − 15

   סכום −2, מכפלה −15: המספרים 3 ו־−5. התוצאה: (x + 3)(x − 5).

3. x² − 9x + 20

   סכום −9, מכפלה 20: −4 ו־−5. התוצאה: (x − 4)(x − 5).

אם המכפלה שלילית, למספרים סימנים שונים. אם המכפלה חיובית, לשניהם אותו סימן — והסימן נקבע לפי הסכום. הכלל הזה מקצר מאוד את החיפוש.

שיטה 4: קיבוץ

כשיש ארבעה איברים ואין גורם משותף לכולם, מקבצים אותם לזוגות, מוציאים גורם משותף מכל זוג, ומקווים שיישאר סוגר משותף.

1. x³ + 3x² + 2x + 6

   מקבצים: (x³ + 3x²) + (2x + 6)

2. מוציאים מכל זוג

   x²(x + 3) + 2(x + 3)

3. סוגר משותף

   (x + 3)(x² + 2)

איך יודעים מתי סיימתם

פירוק שלם הוא כזה שאף גורם לא ניתן לפירוק נוסף. תמיד בדקו את הסוגריים שקיבלתם: אולי אחד מהם הוא עצמו הפרש ריבועים או טרינום.

למשל x⁴ − 16 מתפרק ל־(x² + 4)(x² − 4), אבל הסוגר השני ממשיך: (x² + 4)(x + 2)(x − 2). הסוגר הראשון הוא סכום ריבועים ולא ניתן לפירוק נוסף.

טעויות נפוצות

• לדלג על גורם משותף ולהסתבך בשיטה מסובכת יותר.
• לעצור אחרי פירוק אחד כשאפשר להמשיך.
• לטעות בסימנים בפירוק טרינום.
• לנסות לפרק סכום ריבועים.
• לאבד את הגורם המשותף בדרך ולא לכתוב אותו בתשובה הסופית.

תרגול עם פתרונות

1. פרקו 5x² − 20

   5(x² − 4) = 5(x + 2)(x − 2)

2. פרקו x² + 11x + 24

   (x + 3)(x + 8)

3. פרקו x² − 12x + 36

   (x − 6)²

4. פרקו 2x³ − 8x

   2x(x² − 4) = 2x(x + 2)(x − 2)

5. פתרו x² − 5x + 6 = 0

   (x − 2)(x − 3) = 0, ולכן x = 2 או x = 3.