משוואת ישר

מה זה שיפוע

השיפוע מודד כמה הישר עולה או יורד על כל צעד ימינה. שיפוע 2 אומר שכל תזוזה של יחידה אחת ימינה מעלה את הישר בשתי יחידות. שיפוע שלילי אומר שהישר יורד.

• שיפוע חיובי — הישר עולה משמאל לימין.
• שיפוע שלילי — הישר יורד.
• שיפוע 0 — הישר אופקי, y = b.
• שיפוע לא מוגדר — הישר אנכי, x = קבוע. ישר כזה לא ניתן לכתיבה בצורה y = mx + b.

מציאת שיפוע משתי נקודות

מחסרים את הוואיים, מחסרים את האיקסים, ומחלקים. חשוב לשמור על אותו סדר בשני החיסורים.

1. דוגמה: (2, 3) ו־(6, 11)

   m = (11 − 3) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2

2. דוגמה עם שליליים: (−1, 5) ו־(3, −3)

   m = (−3 − 5) ÷ (3 − (−1)) = −8 ÷ 4 = −2

כתיבת המשוואה המלאה

אחרי שמצאתם את השיפוע, מציבים אחת הנקודות במשוואה כדי למצוא את b.

1. נתון

   הישר עובר דרך (2, 3) ו־(6, 11).

2. שיפוע

   m = 2

3. מציבים נקודה

   3 = 2 × 2 + b, כלומר 3 = 4 + b

4. מבודדים

   b = −1

5. המשוואה

   y = 2x − 1

6. בדיקה

   מציבים את הנקודה השנייה: 2 × 6 − 1 = 11. נכון.

ישר דרך נקודה עם שיפוע ידוע

אם ידועים שיפוע ונקודה אחת, אפשר להשתמש בצורת הנקודה והשיפוע: y − y₁ = m(x − x₁), ואז לפתוח סוגריים.

ישר בשיפוע 3 דרך (4, 5): y − 5 = 3(x − 4), כלומר y = 3x − 12 + 5 = 3x − 7.

ישרים מקבילים ומאונכים

• מקבילים — אותו שיפוע בדיוק, ו־b שונה. אם b זהה גם הוא, זה אותו ישר.
• מאונכים — מכפלת השיפועים היא −1. כלומר השיפוע השני הוא ההופכי בסימן הפוך.

אם ישר אחד בשיפוע 2, כל ישר מאונך לו יהיה בשיפוע −0.5, כי 2 × (−0.5) = −1.

חיתוך עם הצירים

• חיתוך עם ציר ה־y: מציבים x = 0 ומקבלים y = b.
• חיתוך עם ציר ה־x: מציבים y = 0 ופותרים, ומקבלים x = −b ÷ m.

בישר y = 2x − 6, החיתוך עם ציר y הוא (0, −6), והחיתוך עם ציר x הוא (3, 0).

טעויות נפוצות

• לחסר את ה־x וה־y בסדר הפוך זה מזה ולקבל סימן שגוי.
• לחלק הפרש איקסים בהפרש וואיים במקום להפך.
• להניח ששיפוע ישר אנכי הוא 0. הוא לא מוגדר; שיפוע 0 שייך לישר אופקי.
• לשכוח לפתוח סוגריים בצורת הנקודה והשיפוע.
• לחשוב שישרים מאונכים הם בעלי שיפועים הפוכים בסימן בלבד, בלי ההיפוך.

תרגול עם פתרונות

1. שיפוע בין (0,1) ו־(4,9)

   (9 − 1) ÷ 4 = 2

2. משוואת הישר דרך (0,1) בשיפוע 2

   y = 2x + 1

3. שיפוע של ישר מאונך ל־y = 4x + 3

   −1 ÷ 4 = −0.25

4. חיתוך y = −3x + 12 עם ציר x

   0 = −3x + 12, ולכן x = 4, והנקודה (4, 0).