איך מוצאים נקודת קיצון

למה נגזרת אפס אינה מספיקה

הנגזרת היא שיפוע המשיק. בקיצון אופקי השיפוע אפס, אבל גם ב־x³ בנקודה 0 השיפוע אפס והפונקציה ממשיכה לעלות — אין קיצון. לכן אחרי f′=0 חייבים לבדוק שינוי סימן או להציב בנגזרת שנייה.

נגזרת שנייה: אם f″(x0)>0 מינימום מקומי (קעורה למעלה), אם f″<0 מקסימום. אם f″=0 המבחן נכשל וחוזרים לטבלה. בבגרות טבלה כמעט תמיד מתקבלת.

דוגמה: f(x)=x³ − 3x

1. גזירה

   f′=3x²−3=3(x²−1). אפסים x=±1.

2. טבלה

   ל־x<−1 הנגזרת חיובית, בין −1 ל־1 שלילית, אחרי 1 חיובית.

3. מסקנה

   x=−1 מקסימום מקומי, x=1 מינימום מקומי.

4. ערכים

   f(−1)=2, f(1)=−2. הנקודות (−1,2) ו־(1,−2).

שבר וקיצון

אחרי כלל המנה, מונה הנגזרת מתאפס והמכנה לא. המכנה בריבוע חיובי, אז סימן הנגזרת הוא סימן המונה. תחום: מדלגים על אסימפטוטות אנכיות — שם אין נקודת קיצון של הפונקציה כי היא לא מוגדרת.

דוגמה: (1−x²)/(x²+1)²=0 כש־1−x²=0, x=±1, כמו במדריך נגזרת שבר. טבלה סביב ±1 קובעת סוג.

תחום סגור — אל תשכחו קצוות

במקטע [a,b] המקסימום המוחלט יכול להיות בקצה גם אם הנגזרת שם לא אפס. מחשבים f בקצוות ובנקודות החשודות בפנים, ובוחרים את הגדול והקטן. בעיית גדר או שטח לרוב תחום סגור.

פרבולה על כל הישר: אם נפתחת למעלה יש מינימום מוחלט בקודקוד ואין מקסימום. כותבים במפורש אין מקסימום אם התחום פתוח למעלה.

טעויות נפוצות

• להכריז קיצון רק כי f′=0 בלי טבלה.
• לשכוח נקודות שבהן הנגזרת לא מוגדרת (שורש, |x|, שבר).
• לבלבל מקסימום מקומי עם מוחלט.
• בתחום סגור לשכוח קצוות.
• לכתוב x בלי y של הנקודה.

בעיית מילה קצרה

גדר 40 מטר לשלושה צדדים של מלבן על קיר. אם רוחב x אז אורך 40−2x, שטח x(40−2x)=40x−2x². נגזרת 40−4x=0, x=10. שטח 200. בודקים ש־x בין 0 ל־20. זו פרבולה הפוכה — קיצון מקסימום.

תמיד מגדירים משתנה, כותבים תחום, גוזרים, בודקים סוג, ועונים ביחידות המבוקשות.