זוויות מתחלפות

המצב שבו זה קורה

כששני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי, שנקרא חוצה או טרנסברסלה, נוצרות שמונה זוויות. לזוגות מסוימים מביניהן יש שמות ותכונות קבועות, וזיהוי נכון של הזוג הוא כל מה שצריך כדי לפתור.

זוויות מתחלפות פנימיות יוצרות צורה שנראית כמו האות Z (או N, אם היא מסובבת). זה סימן הזיהוי המהיר, ומבדיל אותן מזוויות מתאימות שיוצרות F.

פנימיות מול חיצוניות

• מתחלפות פנימיות — שתיהן בתוך הרצועה שבין שני הישרים המקבילים, משני צדי החוצה. זה הזוג שמופיע הכי הרבה בשאלות.
• מתחלפות חיצוניות — שתיהן מחוץ לרצועה, גם כן משני צדי החוצה. אותה תכונה בדיוק.

דוגמה פתורה

שני מקבילים וחוצה. זווית מתחלפת פנימית אחת היא 65 מעלות. מהי השנייה, ומהי הזווית החד צדדית שלידה?

1. המתחלפת

   65 מעלות — מתחלפות בין מקבילים שוות.

2. החד צדדית

   זוויות חד צדדיות בין מקבילים מסתכמות ל־180, ולכן 180 − 65 = 115.

שלושת הזוגות יחד

בין שני מקבילים וחוצה יש שלושה סוגי זוגות שכדאי להכיר, והם מכסים כל שאלה בנושא:

• מתאימות (צורת F) — שוות.
• מתחלפות (צורת Z) — שוות.
• חד צדדיות (צורת C או U) — סכומן 180 מעלות.

שימו לב שהזוג השלישי הוא היחיד שמסתכם ל־180 במקום להיות שווה. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק הזה: להחיל שוויון על זוג חד צדדי.

דוגמה עם משתנה

שתי זוויות מתחלפות פנימיות: 5x − 20 ו־3x + 20. מצאו אותן.

1. מתחלפות שוות

   5x − 20 = 3x + 20

2. מעבירים

   2x = 40

3. פותרים

   x = 20, ושתי הזוויות הן 80 מעלות

הוכחת מקבילות

כמו במתאימות, המשפט דו כיווני. אם הראיתם שזוג זוויות מתחלפות שוות — הוכחתם שהישרים מקבילים. בשאלות שבהן צריך להוכיח שמרובע הוא מקבילית או טרפז, זו בדרך כלל הדרך הקצרה ביותר.

טעויות נפוצות

• לבלבל מתחלפות (Z) עם מתאימות (F).
• לקרוא לזוג חד צדדי מתחלף ולהשוות במקום לסכם ל־180.
• להשתמש בשוויון בלי שהישרים מקבילים.
• לבלבל בין פנימיות לחיצוניות — אין בכך נזק, כי התכונה זהה, אבל בניסוח הוכחה זה נחשב.

תרגול עם פתרונות

1. בין מקבילים, מתחלפת אחת 110. השנייה?

   110 מעלות.

2. זווית חד צדדית לזווית של 110?

   180 − 110 = 70.

3. מתחלפות: 2x + 15 ו־x + 45. מצאו את x.

   2x + 15 = x + 45, ולכן x = 30 והזוויות 75.