משפט הסינוסים

מה המשפט אומר

בכל משולש, לכל צלע יש זווית שנמצאת מולה: הצלע a נמצאת מול הזווית A, וכן הלאה. המשפט קובע שהיחס בין הצלע לסינוס הזווית שמולה זהה לכל שלושת הזוגות.

המשמעות המעשית: אם ידוע זוג שלם אחד — צלע והזווית שמולה — אפשר למצוא כל צלע אחרת שהזווית שמולה ידועה, וכל זווית שהצלע שמולה ידועה. זה עובד בכל משולש, לא רק בישר זווית.

מתי להשתמש בו

• כשידועות שתי זוויות וצלע אחת. מוצאים את הזווית השלישית מהסכום 180 ואז כל צלע.
• כשידועות שתי צלעות וזווית שמול אחת מהן. כאן צריך להיזהר מהמקרה הדו משמעי.

אם ידועות שתי צלעות והזווית ביניהן, או שלוש צלעות — משפט הסינוסים לא יעזור. במקרים האלה משתמשים במשפט הקוסינוסים.

דוגמה פתורה: שתי זוויות וצלע

במשולש A = 40 מעלות, B = 75 מעלות, והצלע a = 12. מצאו את b.

1. מציבים

   12 ÷ sin 40° = b ÷ sin 75°

2. מחשבים סינוסים

   sin 40° ≈ 0.643, sin 75° ≈ 0.966

3. מבודדים

   b = 12 × 0.966 ÷ 0.643

4. מחשבים

   b ≈ 18.0

בדיקת היגיון: הזווית B גדולה מ־A, ולכן הצלע שמולה חייבת להיות ארוכה יותר. 18 גדול מ־12 — סביר.

דוגמה: מציאת זווית

במשולש a = 9, b = 14, והזווית A = 35 מעלות. מצאו את B.

1. מציבים

   9 ÷ sin 35° = 14 ÷ sin B

2. מבודדים

   sin B = 14 × sin 35° ÷ 9

3. מחשבים

   sin B ≈ 14 × 0.574 ÷ 9 ≈ 0.892

4. סינוס הפוך

   B ≈ 63.1 מעלות

המקרה הדו משמעי

כשמחפשים זווית ולא צלע, יש מלכודת. לסינוס יש שני ערכים אפשריים בין 0 ל־180 מעלות: sin 63° ו־sin 117° שווים בערך. שתי הזוויות עשויות להיות פתרון תקף.

בדוגמה הקודמת, B יכולה להיות 63.1 או 180 − 63.1 = 116.9. בודקים אם הפתרון השני אפשרי: 35 + 116.9 = 151.9, שקטן מ־180, ולכן הוא תקף גם כן. במקרה כזה יש שני משולשים שונים שמקיימים את הנתונים, ויש לציין את שניהם.

הקשר לרדיוס המעגל החוסם

היחס המשותף שווה בדיוק לקוטר המעגל החוסם את המשולש: a ÷ sin A = 2R. זה שימושי כשצריך למצוא רדיוס של מעגל חוסם מתוך נתוני המשולש.

טעויות נפוצות

• לצמד צלע עם זווית סמוכה במקום עם הזווית שמולה.
• לשכוח את המקרה הדו משמעי כשמחפשים זווית.
• להשתמש במשפט כשנתונות שתי צלעות והזווית ביניהן — שם צריך קוסינוסים.
• לעבוד ברדיאנים כשהמחשבון במעלות, או להפך.
• לעגל בשלבי ביניים ולצבור שגיאה.

תרגול עם פתרונות

1. A = 30°, B = 60°, a = 10. מצאו את b.

   b = 10 × sin 60° ÷ sin 30° = 10 × 0.866 ÷ 0.5 ≈ 17.3

2. a = 8, A = 50°. מה קוטר המעגל החוסם?

   2R = 8 ÷ sin 50° ≈ 8 ÷ 0.766 ≈ 10.4