מהן נוסחאות הכפל המקוצר?

שלוש הנוסחאות הבסיסיות הן ⁦(a+b)² = a²+2ab+b²⁩, ⁦(a−b)² = a²−2ab+b²⁩, ו-⁦(a+b)(a−b) = a²−b²⁩. בהמשך לומדים גם נוסחאות בשלישית, כמו (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³.

איך זוכרים את נוסחאות הכפל המקוצר?

ריבוע של סכום הוא ריבוע הראשון, ועוד פעמיים המכפלה, ועוד ריבוע השני. בריבוע של הפרש רק האיבר האמצעי מקבל מינוס. בהפרש ריבועים האיברים האמצעיים מתבטלים, ונשאר a²−b².

מהן נוסחאות הכפל המקוצר בשלישית?

(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ ו-(a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³. יש גם נוסחאות לסכום ולהפרש של חזקות שלישיות: a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) ו-a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²).

באיזו כיתה לומדים כפל מקוצר?

בדרך כלל בכיתה ט׳, יחד עם פירוק לגורמים ומשוואות ריבועיות. הנוסחאות ממשיכות ללוות את כל המתמטיקה של התיכון והבגרות.

נוסחאות הכפל המקוצר

נוסחאות הכפל המקוצר הן שלוש נוסחאות שחוסכות את הכפל של כל איבר בכל איבר: ריבוע של סכום, ריבוע של הפרש, והפרש ריבועים. אליהן מצטרפות הנוסחאות בשלישית. כאן כל הנוסחאות מרוכזות בדף נוסחאות אחד, ואחריהן דפי תרגילים בשלוש רמות עם פתרון מלא. מתאים לכיתה ט׳ ולחזרה לקראת הבגרות.

בדף התשובות כל תרגיל פתור עם הנוסחה עצמה: מציבים את a ואת b, ורואים מאיפה מגיע כל איבר. כך קל למצוא את הטעות, שבדרך כלל היא האיבר האמצעי או סימן.

כיתות ט׳-י׳
3 רמות
12 תרגילים ברמה
עם דף תשובות
חינם להדפסה

הצוות של מורה מורה · עודכן 22.10.2026

בסיסי PDF · דף 1 PDF · דף 2

בינוני PDF · דף 1 PDF · דף 2

מתקדם PDF · דף 1 PDF · דף 2

נוסחאות הכפל המקוצר - כיתות ט׳-י׳ - דף עבודה להדפסה — עמוד ראשון של דף העבודה (בסיסי). הקובץ המלא כולל דף תשובות.

נוסחאות הכפל המקוצר - דף תשובות ברמה בסיסי — דף תשובות ברמה בסיסי

נוסחאות הכפל המקוצר - דף עבודה ברמה בינוני — דף העבודה ברמה בינוני

נוסחאות הכפל המקוצר - דף תשובות ברמה בינוני — דף תשובות ברמה בינוני

נוסחאות הכפל המקוצר - דף עבודה ברמה מתקדם — דף העבודה ברמה מתקדם

נוסחאות הכפל המקוצר - דף תשובות ברמה מתקדם — דף תשובות ברמה מתקדם

דף נוסחאות: הכפל המקוצר

הנוסחה	שם
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$	ריבוע של סכום
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$	ריבוע של הפרש
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$	הפרש ריבועים
${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$	סכום בשלישית
${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$	הפרש בשלישית
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$	סכום חזקות שלישיות
$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$	הפרש חזקות שלישיות

שלוש הנוסחאות הראשונות הן הבסיס של כיתה ט׳. הנוסחאות בשלישית נלמדות בדרך כלל בהמשך, ובחלק מהמגמות הן חלק מחומר הבגרות. כדאי לזכור שהן לא חוקים חדשים: כל אחת מהן היא פשוט כפל רגיל של סוגריים, שנעשה פעם אחת וקוצר לנוסחה.

למה צריך את הנוסחאות

פתיחת סוגריים מהירה: במקום לכפול $(x + 5) (x + 5)$ ארבעה כפלים, כותבים מיד $x^{2} + 10 x + 25$ .

פירוק לגורמים: קוראים את הנוסחה מימין לשמאל. $x^{2} - 49$ הוא הפרש ריבועים, ולכן שווה $(x - 7) (x + 7)$ . זה הצעד הראשון בפתרון הרבה משוואות ריבועיות ובצמצום שברים אלגבריים.

חישוב בראש: $49^{2}$ הוא ${(50 - 1)}^{2}$ , כלומר 2,500 פחות 100 ועוד 1, שזה 2,401. ו- $21 \cdot 19$ הוא 400 פחות 1.

מה יש בכל רמה

בסיסי: ריבוע של סכום, ריבוע של הפרש ומכפלת סכום בהפרש, כשמקדם ה-x הוא 1.

בינוני: מקדמים גדולים מ-1, ביטויים עם שני משתנים (x ו-y), ותרגילי חישוב בראש כמו $98^{2}$ או $57 \cdot 63$ .

מתקדם: פירוק לגורמים של ריבוע שלם ושל הפרש ריבועים, ופתיחת סוגריים בשלישית.

כמה זה (x + 5)²?

התשובה היא x² + 10x + 25: ריבוע של x, ועוד פעמיים x כפול 5, ועוד 5 בריבוע. הטעות הנפוצה היא לכתוב רק x² + 25. הנוסחאות האלה הן הבסיס לפירוק לגורמים במשוואה ריבועית, וכל הנושאים של השנה מרוכזים בדפי העבודה לכיתה ט׳.

התרגילים

רמה: בסיסי

${(x + 5)}^{2}$
${(x - 1)}^{2}$
$(x + 5) (x - 5)$
${(x + 8)}^{2}$
${(x - 2)}^{2}$
$(x + 2) (x - 2)$
${(x + 6)}^{2}$
${(x - 9)}^{2}$
$(x + 8) (x - 8)$
${(x + 7)}^{2}$
${(x - 3)}^{2}$
$(x + 11) (x - 11)$

הצגת התשובות - בסיסי

$x^{2} + 10 x + 25$
$x^{2} - 2 x + 1$
$x^{2} - 25$
$x^{2} + 16 x + 64$
$x^{2} - 4 x + 4$
$x^{2} - 4$
$x^{2} + 12 x + 36$
$x^{2} - 18 x + 81$
$x^{2} - 64$
$x^{2} + 14 x + 49$
$x^{2} - 6 x + 9$
$x^{2} - 121$

רמה: בינוני

${(3 x + 3)}^{2}$
${(5 x + 3 y)}^{2}$
$(5 x + 9) (5 x - 9)$
$67 \cdot 73$
${(4 x - 7)}^{2}$
${(5 x - 3 y)}^{2}$
$(4 x + 9 y) (4 x - 9 y)$
$78^{2}$
${(5 x - 9)}^{2}$
${(4 x + 2 y)}^{2}$
$(4 x + 8) (4 x - 8)$
$78 \cdot 82$

הצגת התשובות - בינוני

$9 x^{2} + 18 x + 9$
$25 x^{2} + 30 x y + 9 y^{2}$
$25 x^{2} - 81$
$4891$
$16 x^{2} - 56 x + 49$
$25 x^{2} - 30 x y + 9 y^{2}$
$16 x^{2} - 81 y^{2}$
$6084$
$25 x^{2} - 90 x + 81$
$16 x^{2} + 16 x y + 4 y^{2}$
$16 x^{2} - 64$
$6396$

רמה: מתקדם

פרקו: $9 x^{2} + 30 x + 25$
פרקו: $16 x^{2} - 49$
${(x - 3)}^{3}$
פרקו: $x^{2} + 6 x + 9$
פרקו: $4 x^{2} - 1$
${(x + 1)}^{3}$
פרקו: $x^{2} - 2 x + 1$
פרקו: $x^{2} - 9$
${(x - 1)}^{3}$
פרקו: $16 x^{2} - 24 x + 9$
פרקו: $4 x^{2} - 16$
${(x + 2)}^{3}$

הצגת התשובות - מתקדם

${(3 x + 5)}^{2}$
$(4 x - 7) (4 x + 7)$
$x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$
${(x + 3)}^{2}$
$(2 x - 1) (2 x + 1)$
$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$
${(x - 1)}^{2}$
$(x - 3) (x + 3)$
$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$
${(4 x - 3)}^{2}$
$(2 x - 4) (2 x + 4)$
$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$

הסבר קצר: איך משתמשים בנוסחה

מזהים את המבנה: ריבוע של סכום, ריבוע של הפרש, או סכום כפול הפרש.
מחליטים מי a ומי b. המקדם נכנס יחד עם המשתנה: ב- ${(2 x - 3)}^{2}$ האיבר a הוא 2x.
מציבים בנוסחה, כולל הסוגריים סביב a ו-b כשמעלים בריבוע.
מחשבים כל איבר ומסדרים מהחזקה הגבוהה לנמוכה.

דוגמה פתורה

${(2 x - 3)}^{2}$

${(2 x)}^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^{2}$

$4 x^{2} - 12 x + 9$

טעויות נפוצות

לשכוח את האיבר האמצעי: (x+3)² אינו x²+9, אלא x²+6x+9.
להעלות בריבוע רק את המשתנה ולא את המקדם: (2x)² הוא 4x², לא 2x².
לטעות בסימן של b² בריבוע של הפרש: (x−4)² נגמר ב-+16, כי גם (−4)² חיובי.
לפרק x²+9 כאילו היה הפרש ריבועים. סכום ריבועים לא מתפרק לגורמים כאלה.

שאלות נפוצות

מהן נוסחאות הכפל המקוצר?: שלוש הנוסחאות הבסיסיות הן ⁦(a+b)² = a²+2ab+b²⁩, ⁦(a−b)² = a²−2ab+b²⁩, ו-⁦(a+b)(a−b) = a²−b²⁩. בהמשך לומדים גם נוסחאות בשלישית, כמו (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³.
איך זוכרים את נוסחאות הכפל המקוצר?: ריבוע של סכום הוא ריבוע הראשון, ועוד פעמיים המכפלה, ועוד ריבוע השני. בריבוע של הפרש רק האיבר האמצעי מקבל מינוס. בהפרש ריבועים האיברים האמצעיים מתבטלים, ונשאר a²−b².
מהן נוסחאות הכפל המקוצר בשלישית?: (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ ו-(a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³. יש גם נוסחאות לסכום ולהפרש של חזקות שלישיות: a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) ו-a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²).
באיזו כיתה לומדים כפל מקוצר?: בדרך כלל בכיתה ט׳, יחד עם פירוק לגורמים ומשוואות ריבועיות. הנוסחאות ממשיכות ללוות את כל המתמטיקה של התיכון והבגרות.